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第一章-行列式

reallylearning2026/5/1大约 10 分钟考研数学线性代数线性代数

二、三阶行列式

二阶行列式

∣a11a12a21a22∣=a11a22−a12a21,aij\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},a_{ij} 中 ii 代表行，jj 代表列

三阶行列式

同二阶行列式的定义类似，三阶行列式的定义如下：

定义 九个数 aij (i,j=1,2,3)a_{ij} \ (i,j=1,2,3) 排成三行三列，两边加竖线，称为三阶行列式，它表示一个数，其定义式为：

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32.\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.

特殊的行列式

  1. 上三角行列式 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ 0 & a_{22} & a_{23} \ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$$

  2. 下三角行列式$$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \ a_{21} & a_{22} & 0 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$$

  3. 对三角行列式$$\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \ 0 & a_{22} & 0 \ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$$

排列和逆序

n 阶行列式定义：对于 nn 阶行列式的概念，大家要有一个简单的了解： $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

是所有取自不同行不同列的 nn 个元素的乘积a1j1a2j2⋯anjna_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}的代数和，这里j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n 是 1,2,…,n1,2,\dots,n 的一个排列。
当 j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n 是偶排列时，该项的前面带正号；当 j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n 是奇排列时，该项的前面带负号，即

∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn.(1)\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}. \tag{1}

这里 ∑j1j2⋯jn\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n} 表示对所有 nn 阶排列求和。式 (1) 称为 nn 阶行列式的完全展开式。

【注】所谓排列是指由 nn 个数 1,2,…,n1,2,\dots,n 所构成的一个有序数组，通常用 j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n 表示 nn 阶排列，显然共有 n!n! 个 nn 阶排列。

一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。用 τ(j1j2⋯jn)\tau(j_1j_2\cdots j_n) 表示排列 j1j2⋯jnj_1j_2\cdots j_n 的逆序数。

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称之为奇排列。

例如，a12a24a33a41a_{12}a_{24}a_{33}a_{41} 是四阶行列式中的一项，那么该项所带的符号由 τ(2431)=1+2+1=4\tau(2431)=1+2+1=4（即 2 有 1 个逆序，4 有 2 个逆序，3 有 1 个逆序）确定，是偶排列，故取正号。（看数字后面有几个比它小的就有几个逆序）

又如，a13a25a31a42a54a_{13}a_{25}a_{31}a_{42}a_{54} 是五阶行列式中的一项，由 τ(35124)=2+3=5\tau(35124)=2+3=5 是奇排列，故在行列式中应取负号。

例 1 判断 nn 级排列 n(n−1)⋯321n(n-1)\cdots321 的奇偶性

逆序数计算

排列 n(n−1)⋯321n(n-1)\cdots321 的逆序数为：N(n(n−1)⋯321)=n(n−1)2N(n(n-1)\cdots321) = \frac{n(n-1)}{2}

分情况讨论奇偶性

  1. 当 n=4kn = 4k 时：
    n(n−1)2=4k(4k−1)2=2k(4k−1)\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4k(4k-1)}{2} = 2k(4k-1)
    结果为偶数，排列为偶排列。

  2. 当 n=4k+1n = 4k+1 时：
    n(n−1)2=(4k+1)⋅4k2=(4k+1)⋅2k\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+1) \cdot 4k}{2} = (4k+1) \cdot 2k
    结果为偶数，排列为偶排列。

  3. 当 n=4k+2n = 4k+2 时：
    n(n−1)2=(4k+2)(4k+1)2=(2k+1)(4k+1)\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+2)(4k+1)}{2} = (2k+1)(4k+1)
    结果为奇数，排列为奇排列。

  4. 当 n=4k+3n = 4k+3 时：
    n(n−1)2=(4k+3)(4k+2)2=(4k+3)(2k+1)\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+3)(4k+2)}{2} = (4k+3)(2k+1)
    结果为奇数，排列为奇排列。

定义 在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为对换。

定理 对换一次改变排列的奇偶性。

推论1 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

推论2 由于 nn 个不同元素的全排列总数为 n!n!，在 nn 个不同元素的全排列中，奇偶排列各占一半，均为 n!2\dfrac{n!}{2} 个。

行列式的性质

记

∣A∣=∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣,∣AT∣=∣a11a21…an1a12a22…an2⋮⋮⋮a1na2n…ann∣,|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}, \quad |A^\text{T}|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix},

行列式 ∣AT∣|A^\text{T}| 称为 ∣A∣|A| 的转置行列式。

性质 1

经过转置，行列式的值不变，即 ∣AT∣=∣A∣|A^\text{T}| = |A|。

以三阶行列式为例：

∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣=∣a1b1c1a2b2c2a3b3c3∣.\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.

由此可知行列式行的性质与列的性质是对等的（以下性质均以三阶行列式为例说明）。

性质 2

两行（或列）互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行（或列）相同，行列式的值为 00。

性质 3

某行（或列）如有公因子 kk，则可把 kk 提出行列式记号外（亦即用数 kk 乘行列式 ∣A∣|A| 等于用 kk 乘它的某行或列）。

特别地：

  1. 某行（或列）的元素全为 00，行列式的值为 00。

  2. 若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 00。

性质 4

如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。

∣a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3∣=∣a1a2a3c1c2c3d1d2d3∣+∣b1b2b3c1c2c3d1d2d3∣.\begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & a_3+b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix}.

性质 5

把某行（或列）的 kk 倍加到另一行（或列），行列式的值不变。

∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣=∣a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c3∣.\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+ka_1 & b_2+ka_2 & b_3+ka_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.

题目

设 nn 阶行列式 D=∣aij∣D=|a_{ij}|，其元素满足反对称条件：aij=−aji,i,j=1,2,…,na_{ij} = -a_{ji},\quad i,j=1,2,\dots,n
**证明：**当 nn为奇数时，行列式 D=0D=0。

反对称行列式特征

  • 主对角线元素全为 0：因为 aii=−aiia_{ii}=-a_{ii}，所以 aii=0a_{ii}=0。

  • 以主对角线为轴，上下对称位置的元素互为相反数。

结论：奇数阶反对称行列式的值为 00。

证明：$$D= \begin{vmatrix} 0 & a & b \ -a & 0 & c \ -b & -c & 0 \end{vmatrix}$$

对行列式取转置：
根据行列式性质 1，转置不改变行列式的值：
D=∣AT∣=∣0−a−ba0−cbc0∣D = |A^T| = \begin{vmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{vmatrix}D=∣AT∣=∣0−a−ba0−cbc0∣D = |A^T| = \begin{vmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{vmatrix}

**提取每行的公因子 **−1-1：
行列式有 3 行，提取公因子 (−1)3(-1)^3：
D=(−1)3∣0ab−a0c−b−c0∣=−DD = (-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix} = -DD=(−1)3∣0ab−a0c−b−c0∣=−DD = (-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix} = -D

**解方程 **D=−DD=-D：
2D=0  ⟹  D=02D=0 \implies D=0

推广到一般奇数阶

对于 nn 阶反对称行列式（nn 为奇数）：

转置行列式 ∣AT∣=∣A∣=D|A^T| = |A| = D。

由反对称条件 aij=−ajia_{ij}=-a_{ji}，转置后的行列式可表示为：
∣AT∣=∣−A∣=(−1)n∣A∣|A^T| = |-A| = (-1)^n |A|

因为 nn 为奇数，(−1)n=−1(-1)^n=-1，故：
D=−D  ⟹  2D=0  ⟹  D=0D = -D \implies 2D=0 \implies D=0

当 nn 为偶数时：
D=(−1)4D=DD=(-1)^4 D = D
该式恒成立，因此偶数阶反对称行列式的值不一定为 0，如 2 阶反对称行列式：

∣0a−a0∣=a2≠0\begin{vmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{vmatrix} = a^2 \neq 0

行列式按行(列)展开公式

在 nn 阶行列式

D=∣a11a12…a1na21a22…a2n⋮⋮⋮an1an2…ann∣D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

中划去 aija_{ij} 所在的第 ii 行、第 jj 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n−1n-1 阶行列式

∣a11…a1,j−1a1,j+1…a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1…ai−1,j−1ai−1,j+1…ai−1,nai+1,1…ai+1,j−1ai+1,j+1…ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1…an,j−1an,j+1…ann∣\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}

称其为 aija_{ij} 的余子式，记为 MijM_{ij}；称 (−1)i+jMij(-1)^{i+j}M_{ij} 为 aija_{ij} 的代数余子式，记为 AijA_{ij}，即
Aij=(−1)i+jMij.A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}.

 【注】AijA_{ij} 与 aija_{ij} 的数值大小无关

定理1: ** nn 阶行列式等于它的任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和**，即
∣A∣=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAin=∑k=1naikAik, i=1,2,…,n.按行|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{ik},\ i=1,2,\dots,n. 按行

∣A∣=a1jA1j+a2jA2j+⋯+anjAnj=∑k=1nakjAkj, j=1,2,…,n.按列|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{kj}A_{kj},\ j=1,2,\dots,n. 按列
前一个公式称 ∣A∣|A| 是按第 ii 行展开的展开式，后一个公式称 ∣A∣|A| 是按第 jj 列展开的展开式。

按0比较多的行(列)展开好计算

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定理2(异乘变零定理): 行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为 00，即
∑k=1naikAjk=ai1Aj1+ai2Aj2+⋯+ainAjn=0, i≠j.\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{in}A_{jn} = 0,\ i \neq j.

∑k=1nakiAkj=a1iA1j+a2iA2j+⋯+aniAnj=0, i≠j.\sum_{k=1}^{n} a_{ki}A_{kj} = a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \dots + a_{ni}A_{nj} = 0,\ i \neq j.

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在用展开公式的时候，还要注意下面几个特殊情况的配合：

(1) 上（下）三角形行列式

上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积：

∣a11a12…a1na22…a2n⋱⋮ann∣=∣a11a21a22⋮⋮⋱an1an2…ann∣=a11a22⋯ann.\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.

(2) 关于副对角线的行列式

∣a11a12…a1,n−1a1na21a22…a2,n−10⋮⋮⋮⋮an10…00∣=∣0…0a1n0…a2,n−1a2n⋮⋮⋮an1…an,n−1ann∣=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1⋯an1.\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}.

行列式按多行(列)展开公式 (拉普拉斯定理)

k 阶子式：

nn 阶矩阵中任取 kk 行 kk 列，按原顺序构成的 kk 阶行列式，记为 NN。

余子式：划去 kk 阶子式 NN 所在 kk 行 kk 列，剩余元素构成 n−kn-k 阶行列式，为 NN 的余子式，记作 MM。

**代数余子式：**子式 NN 在第 i1,i2,…,iki_1,i_2,\dots,i_k 行、第 j1,j2,…,jkj_1,j_2,\dots,j_k 列：A=(−1),(i1+i2+⋯+ik),+,(j1+j2+⋯+jk)MA=(-1)^{,(i_1+i_2+\dots+i_k),+,(j_1+j_2+\dots+j_k)}M。

拉普拉斯定理：任意 nn 阶行列式，选定kk 行（或 kk 列），行列式值等于这 kk 行中所有 kk 阶子式与其对应代数余子式乘积之和：D=N1A1+N2A2+N3A3+⋯+NCnkACnkD = N_1 A_1 + N_2 A_2 + N_3 A_3 + \cdots + N_{\mathrm{C}_n^k} A_{\mathrm{C}_n^k}

Cnk\mathrm{C}_n^k 是从 nn 行中取 kk 行的组合数。

两个特殊的拉普拉斯展开式 适用于带有0块的行列式

如果 AA 和 BB 分别是 mm 阶和 nn 阶矩阵，则

∣A∗OB∣=∣AO∗B∣=∣A∣⋅∣B∣,\begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|,

∣OAB∗∣=∣∗ABO∣=(−1)mn∣A∣⋅∣B∣.\begin{vmatrix} O & A \\ B & * \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} * & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|.

例题部分

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(4) 范德蒙德行列式

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_ \limits{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j).