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第十一章-向量代数与空间解析几何及多元微分学在几何上的应用

reallylearning2026/4/28大约 5 分钟考研数学高数高等数学

向量代数

1. 数量积

(1) 几何表示.
a⋅b=∣a∣∣b∣cos⁡α,\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \alpha,
α\alpha 为 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的夹角.

(2) 代数表示.
a⋅b=axbx+ayby+azbz.\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

(3) 运算规律.

  • 交换律: a⋅b=b⋅a\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a},

  • 分配律: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}.

(4) 几何应用.

  • 模: ∣a∣=a⋅a|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}},

  • 夹角: cos⁡α=a⋅b∣a∣∣b∣\cos \alpha = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}|},

  • 判定两向量垂直: a⊥b⇔a⋅b=0.\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0.

2. 向量积

(1) 几何表示.
a×b\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} 是一向量.

  • 模: ∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡α.|\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \sin \alpha.

  • 方向：右手法则.

(2) 代数表示.

a×b=∣ijkaxayazbxbybz∣a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}

(3) 运算规律.

  • a×b=−(b×a)\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = -(\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{a}),

  • 分配律: a×(b+c)=a×b+a×c.\boldsymbol{a} \times (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{c}.

(4) 几何应用.

  • 求同时垂直于 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 的向量: a×b.\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}.

  • 求以 a\boldsymbol{a} 和 b\boldsymbol{b} 为邻边的平行四边形面积: S=∣a×b∣.S = |\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}|.

  • 判定两向量平行: a∥b⇔a×b=0.\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}.

3. 混合积

(1) 几何表示.
(abc)=(a×b)⋅c.(\boldsymbol{abc}) = (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}.

(2) 代数表示.

(abc)=∣axayazbxbybzcxcycz∣⋅(abc) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix} \cdot

(3) 运算规律.

  • 轮换对称性: (abc)=(bca)=(cab).(\boldsymbol{abc}) = (\boldsymbol{bca}) = (\boldsymbol{cab}).

  • 交换变号: (abc)=−(acb).(\boldsymbol{abc}) = -(\boldsymbol{acb}).

(4) 几何应用.

  • V平行六面体=∣(abc)∣.V_{\text{平行六面体}} = |(\boldsymbol{abc})|.

  • 判定三向量共面: a,b,c\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} 共面 ⇔(abc)=0.\Leftrightarrow (\boldsymbol{abc}) = 0.

空间平面与直线

1. 平面方程

(1) 一般式.
Ax+By+Cz+D=0,n=A,B,C.Ax + By + Cz + D = 0, \quad \boldsymbol{n} = {A,B,C}.

(2) 点法式.
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0.A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.

(3) 截距式.
xa+yb+zc=1.\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1.

2. 直线方程

(1) 一般式.
\\begin\{cases\} A\_1 x \+ B\_1 y \+ C\_1 z \+ D\_1 = 0, \\\\ A\_2 x \+ B\_2 y \+ C\_2 z \+ D\_2 = 0\. \\end\{cases\}

(2) 对称式.
x−x0l=y−y0m=z−z0n.\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}.

(3) 参数式.
x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt.x = x_0 + lt,\ y = y_0 + mt,\ z = z_0 + nt.

3. 平面与直线的位置关系（平行、垂直、夹角）

关键：平面的法线向量，直线的方向向量.

4. 点到面的距离

点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 到平面 Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 的距离
d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2.d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

5. 点到直线的距离

点 (x0,y0,z0)(x_0,y_0,z_0) 到直线 x−x1l=y−y1m=z−z1n\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} 的距离为
d=∣(x1−x0,y1−y0,z1−z0)×(l,m,n)∣l2+m2+n2.d = \frac{|(x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0) \times (l,m,n)|}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2}}.

曲面与空间曲线

1. 曲面方程

一般式 F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0 或 z=f(x,y).z = f(x,y).

2. 空间曲线

(1) 参数式:

{x=x(t),y=y(t),z=z(t).\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \\ z = z(t). \end{cases}

(2) 一般式:

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0.\begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0. \end{cases}

3. 常见曲面

(1) 旋转面。一条平面曲线绕平面上一条直线旋转.
设 LL 是 yOzyOz 平面上一条曲线，其方程是

{f(y,z)=0,x=0,\begin{cases} f(y,z) = 0, \\ x = 0, \end{cases}

则
① LL 绕 yy 轴旋转所得旋转面方程为 f(y,±x2+z2)=0.f(y, \pm\sqrt{x^2 + z^2}) = 0.

② LL 绕 zz 轴旋转所得旋转面方程为 f(±x2+y2,z)=0.f(\pm\sqrt{x^2 + y^2}, z) = 0.

(2) 柱面。平行于定直线并沿定曲线 Γ\Gamma 移动的直线 LL 形成的轨迹.
① 准线为 Γ:{f(x,y)=0,z=0,\Gamma: \begin{cases} f(x,y) = 0, \\ z = 0, \end{cases} 母线平行于 zz 轴的柱面方程为 f(x,y)=0f(x,y) = 0;

② 准线为 Γ:{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,\Gamma: \begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0, \end{cases} 母线平行于 zz 轴的柱面方程为 F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0 和 G(x,y,z)=0G(x,y,z) = 0 联立消去 zz 所得的二元方程 H(x,y)=0.H(x,y) = 0.

(3) 二次曲面.
① 椭圆锥面.
x2a2+y2b2=z2\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z^2, 特别的：圆锥面 x2+y2=z2.x^2 + y^2 = z^2.

② 椭球面.
x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, 特别的：球面 x2+y2+z2=R2.x^2 + y^2 + z^2 = R^2.

③ 单叶双曲面.
x2a2+y2b2−z2c2=1.\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.

④ 双叶双曲面.
x2a2−y2b2−z2c2=1.\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.

⑤ 椭圆抛物面.
x2a2+y2b2=z\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = z, 特别的：旋转抛物面 z=x2+y2.z = x^2 + y^2.

⑥ 双曲抛物面（马鞍面）.
x2a2−y2b2=z.\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = z.

(4) 空间曲线投影.
曲线 Γ:{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,\Gamma: \begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\ G(x,y,z) = 0, \end{cases} 消去 zz 得到关于 xOyxOy 面的投影柱面 H(x,y)=0.H(x,y) = 0.

曲线 Γ\Gamma 在 xOyxOy 面上的投影曲线方程为

{H(x,y)=0,z=0.\begin{cases} H(x,y) = 0, \\ z = 0. \end{cases}

多元微分学在几何上的应用

1. 曲面的切平面与法线

(1) 曲面 F(x,y,z)=0F(x,y,z) = 0, 法向量:
n=(Fx′,Fy′,Fz′).\boldsymbol{n} = (F_x', F_y', F_z').

(2) 曲面 z=f(x,y)z = f(x,y), 法向量:
n=(fx′,fy′,−1).\boldsymbol{n} = (f_x', f_y', -1).

2. 曲线的切线与法平面

(1) 曲线

{x=x(t),y=y(t),z=z(t),\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \\ z = z(t), \end{cases}

切向量:
τ=(x′(t0),y′(t0),z′(t0)).\boldsymbol{\tau} = (x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0)).

(2) 曲线

{F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0,\begin{cases} F(x,y,z) = 0, \\\\ G(x,y,z) = 0, \end{cases}

切向量:
τ=n1×n2,\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2,
其中 n1=(Fx′,Fy′,Fz′)\boldsymbol{n}_1 = (F_x', F_y', F_z'), n2=(Gx′,Gy′,Gz′).\boldsymbol{n}_2 = (G_x', G_y', G_z').