三重积分

向量代数

1. 数量积

(1) 几何表示.
$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \cos \alpha,$
$\alpha$ 为 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角.

一、级数的概念与性质

1. 级数的概念

设 ${u_n}$ 是一数列，则表达式

1. 二重积分的概念

定义：设函数 $z = f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有定义，将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域

二元函数的极限与连续性

一元函数与二元函数的区别

• 一元函数：函数只依赖于一个自变量，其定义域是数轴上点的集合。

• 二元函数：函数依赖于两个自变量，其定义域是平面上点的集合，比如可以用来表示位置（经度、纬度）等涉及两个变量的情况。

二元函数定义

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y) \in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z = f(x,y)$。其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量。函数值$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数$z = f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面。

一、定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义且有界。

微分中值定理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，那么 $f'(x_0) = 0$。

定义：设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集。如果对于每个数 $x \in D$，按照一定的法则总有一个确定的数值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为$y = f(x), x \in D$

导数

定义：设函数$y = f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$，或$y'|_{x = x_0}$，或$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$。如果上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导。