矩阵

矩阵的概念

1. 矩阵：$m \times n$ 个数排成如下 $m$ 行 $n$ 列的一个表格$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}$ 称为一个 $m \times n$矩阵，当 $m = n$ 时，矩阵$A$称为$n$阶矩阵或叫$n$阶方阵。
2. 同型矩阵 矩阵 $A$ 与 $B$ 是同型矩阵 $\iff$ $A$ 与 $B$ 的行数相等，列数也相等。 例如：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \text{与} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$是同型矩阵（二者都是 $2 \times 3$ 矩阵）。
3. 矩阵相等 矩阵 $A$ 与 $B$ 相等$A = B \iff \begin{cases} A \text{ 与 } B \text{ 是同型矩阵}; \\[4pt] \text{对应位置的元素相等}. \end{cases}$

特殊的矩阵

1. 方阵 行数与列数相等的矩阵，称为方阵。相等的行数列数的值，称为方阵的阶。一阶方阵就是一个数，$(a) = a$。

2. 列矩阵 只有一列的矩阵，也称为列向量。例如：$B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 零矩阵 所有元素全为 $0$ 的矩阵，称为零矩阵，记作 $O$。例如：$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 都是零矩阵。

4. 负矩阵 将矩阵 $A$ 的所有元素取相反数后得到的矩阵，称为 $A$的负矩阵，记作 $-A$。若 $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$ 则它的负矩阵为： $-A = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 0 \\ -2 & 4 & -5 \end{pmatrix}$.

5. 上三角矩阵 主对角线下方的元素全为 $0$ 的方阵，称为上三角矩阵。例如： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ 都是上三角矩阵。

6. 下三角矩阵 主对角线上方的元素全为 $0$ 的方阵，称为下三角矩阵。例如： $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ 都是下三角矩阵。

7. 对角形矩阵 既是上三角矩阵，又是下三角矩阵的方阵，即主对角线上方、下方的元素全为$0$的方阵，称为对角形矩阵（对角矩阵）。例如： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ 就是一个对角形矩阵。

   记法：对角矩阵可简记为 $A = \begin{pmatrix} a_1 & & & \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n \end{pmatrix} = \mathrm{diag}(a_1, a_2, \dots, a_n)$。

8. 数量矩阵 主对角线上的元素是同一个常数的对角形矩阵，称为数量矩阵（标量矩阵）即： $\begin{pmatrix} a & & & \\ & a & & \\ & & \ddots & \\ & & & a \end{pmatrix}$ 为 $n$ 阶数量矩阵。

9. 单位矩阵 主对角线上的元素全为 $1$，其他位置的元素全为 $0$ 的方阵，称为单位矩阵，记作 $E = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$。

矩阵的加法、减法、数乘

加减法

加法两个同型矩阵（行数与列数分别相等）可以相加，运算规则为对应位置的元素相加：
若 $A = [a_{ij}]_{m \times n}$，$B = [b_{ij}]_{m \times n}$，则$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]m×n$

减法 两个同型矩阵相减，对应位置的元素相减：若 $A = (a_{ij})_{m \times n}$，$B = (b_{ij})_{m \times n}$，则$A-B=[a_{ij}-b_{ij}]m×n$，矩阵减法也可以转化为加法：$A+B=A+(-B)$其中 $-B$ 是矩阵 $B$ 的负矩阵（所有元素取相反数）。

运算规律

设 $A,B,C$ 为同型矩阵，$O$ 为同型零矩阵，则：

1. 交换律：
   $A + B = B + A$

2. 结合律：
   $(A + B) + C = A + (B + C)$

3. 零矩阵的加法单位元性质：
   $A + O = A$

4. 负矩阵的加法逆元性质：
   $A + (-A) = O$

5. 减法的定义式：
   $A - B = A + (-B)$

6. 移项法则：
   $A + B = C \iff A = C - B$

数乘

设 $k$是数，$A = [a_{ij}]_{m \times n}$ 是矩阵，则定义数 $k$ 与矩阵$A$ 的乘法为：$kA = k[a_{ij}]_{m \times n} = [ka_{ij}]_{m \times n}$

矩阵的乘法

设 $A$ 是一个 $m \times s$ 矩阵，$B$ 是一个 $s \times n$ 矩阵（$A$ 的列数 = $B$ 的行数），则 $A,B$ 可乘，且乘积 $AB$ 是一个 $m \times n$ 矩阵。记成 $C = AB = [c_{ij}]_{m \times n}$，其中 $C$ 的第 $i$ 行、第 $j$ 列元素 $c_{ij}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行 $s$ 个元素和 $B$ 的第 $j$ 列的 $s$ 个对应元素两两乘积之和，即 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{s} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{is}b_{sj}.$

只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘。

• 数学表达：若矩阵 $A$ 为 $m \times n$ 型，矩阵 $B$ 为 $p \times s$ 型，则 $A$ 与 $B$ 可相乘的充要条件是 $n = p$。

• 通俗理解：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数。

设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times s$ 矩阵，则它们的乘积 $AB$ 是一个 $m \times s$ 矩阵，其中：

• 乘积矩阵 $AB$ 的行数 = 左边矩阵 $A$ 的行数；

• 乘积矩阵 $AB$ 的列数 = 右边矩阵 $B$ 的列数。

矩阵的乘法可图示如下：

$\underset{m \times s}{\begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \boxed{a_{i1} \ a_{i2} \ \cdots \ a_{is}} & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix}} \underset{s \times n}{\begin{bmatrix} \vdots \\ \boxed{b_{1j}} \\ \boxed{b_{2j}} \\ \vdots \\ \boxed{b_{sj}} \\ \vdots \end{bmatrix}} = \underset{m \times n}{\begin{bmatrix} \vdots \\ \cdots & \boxed{c_{ij}} & \cdots \\ \vdots \end{bmatrix}}$

特别地，设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，则记 $\underbrace{A \cdot A \cdots A}_{k \text{个}} = A^k$ 称为 $A$ 的 $k$ 次幂。

例如，设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}$ 则

$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 10 + 2 \times (-5) & 1 \times (-4) + 2 \times 2 \\ 3 \times 10 + 6 \times (-5) & 3 \times (-4) + 6 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$

$BA = \begin{bmatrix} 10 & -4 \\ -5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \times 1 + (-4) \times 3 & 10 \times 2 + (-4) \times 6 \\ (-5) \times 1 + 2 \times 3 & (-5) \times 2 + 2 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.$

$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 3 & 1 \times 2 + 2 \times 6 \\ 3 \times 1 + 6 \times 3 & 3 \times 2 + 6 \times 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 14 \\ 21 & 42 \end{bmatrix} = 7A.$

矩阵乘法不满足的规律

1. 矩阵乘法不满足交换律
2. 矩阵乘法不满足消去律

​ 若 $AB = AC$，且 $A \neq O$，推不出 $B = C$。

​ 若 $BA = CA$，且 $A \neq O$，推不出 $B = C$。

​ 设 $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\ B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},\ C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},$ 求 $AB$ 与 $AC$。

​ $AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ $AC = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 显然： $AB = AC$ 但 $B \neq C$，说明矩阵乘法不满足消去律。

3. 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。

​ 若 $AB = O$，推不出 $A = O$ 或 $B = O$。

注：矩阵的乘法不满足交换律，矩阵乘积要注意次序，分左乘还是右乘。

​ $AB$ ——$A$ 左乘 $B$；

​ $BA$ —— $A$ 右乘 $B$。

矩阵乘法满足的规律

1. 结合律：$(AB)C = A(BC)$
2. 分配律：$(A+B)C = AC + BC$ $C(A+B) = CA + CB$，注意$C$的左右位置不能改动
3. 数乘结合律：$k(AB) = (kA)B = A(kB)$（其中 $k$ 为常数）
4. $AE = A,\ EA = A$ (单位矩阵 $E$ 在矩阵乘法中相当于数乘中的$1$，$E_{m \times m} A_{m \times n} = A_{m \times n} E_{n \times n} = A_{m \times n}$)
5. 数量矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & & & \\ & a & & \\ & & \ddots & \\ & & & a \end{pmatrix} = aE$， 则有 $AB = aB,\ BA = aB$ (数量矩阵在矩阵乘法中相当于数乘)
6. $\begin{pmatrix} a_1 & & & \\ & a_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 & & & \\ & b_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1b_1 & & & \\ & a_2b_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_nb_n \end{pmatrix}$

矩阵的可交换

1. 若矩阵 $A$，$B$ 满足 $AB = BA$，则称 $A$ 与 $B$ 可交换。 否则，就称 $A$，$B$ 不可交换。

可交换的矩阵一定是同阶方阵。 可交换矩阵满足：1、同阶方阵 2、$AB = BA$。

2. 不是同阶方阵，一定不可交换。
3. $AB$，$BA$ 不相等，一定不可交换。
4. 单位矩阵 $E$ 和任一同阶方阵可交换。
5. 两个同阶对角形矩阵可交换。

求与 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ 可交换的所有矩阵

设 $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，根据可交换定义 $AB = BA$，有： $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

分别计算两边的乘积：

左边：$AB = \begin{pmatrix} a & b \\ a+c & b+d \end{pmatrix}$

右边：$BA = \begin{pmatrix} a+b & b \\ c+d & d \end{pmatrix}$

根据矩阵相等的定义，对应元素相等，得到方程组： $\begin{cases} a = a+b \\ b = b \\ a+c = c+d \\ b+d = d \end{cases}$

化简方程组：由 $a = a+b$ 得 $b = 0$

由 $b+d = d$ 得 $b = 0$（与上式一致）

由 $a+c = c+d$ 得 $a = d$

因此，矩阵 $B$ 的形式为： $B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & a \end{pmatrix}$，其中 $a,c$ 为任意常数。

方阵的幂

定义：设 $A$ 为方阵，$k$ 为正整数，则 $A$ 的 $k$ 次幂定义为： $A^k = \underbrace{A \cdot A \cdot \cdots \cdot A}_{k\text{个}}$规定：$A^0 = E$。

已知 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，求 $A^3$

先计算 $A^2$： $A^2 = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

再计算 $A^3 = A^2A$： $A^3 = A^2A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

方阵幂的性质

设 $A$ 为方阵，$k_1,k_2$ 为非负整数，则：

1. $A^{k_1}A^{k_2} = A^{k_1 + k_2}$；

2. $(A^{k_1})^{k_2} = A^{k_1 k_2}$；

3. $(lA)^k = l^k A^k$，其中 $l$ 为常数，$k$ 为正整数。

​ 【注】：由于矩阵的乘法不满足交换律，因此一般情况下， $(AB)^k \neq A^k B^k$，其中 $A,B$ 为同阶方阵，$k$ 为正整数。

4. 若矩阵 $A$，$B$ 可交换（即 $AB=BA$），则有：

   • $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B) = (A-B)(A+B)$

   • $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$

   • $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   • $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

   • $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$

   • $(AB)^k = A^k B^k$

5. 含单位矩阵的常用公式

   • $A^2 - E = (A+E)(A-E)$
   • $(A+E)^2 = A^2 + 2A + E$
   • $(A-E)^2 = A^2 - 2A + E$
   • $A^3 - E = (A-E)(A^2 + A + E)$
   • $A^3 + E = (A+E)(A^2 - A + E)$

6. 方阵多项式：设多项式： $f(x) = a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_1 x + a_0$ 则方阵多项式定义为： $f(A) = a_m A^m + a_{m-1} A^{m-1} + \dots + a_1 A + a_0 E$

​ 例如：多项式：$f(x) = x^3 - x^2 + 2x - 3$，对应的方阵多项式：$f(A) = A^3 - A^2 + 2A - 3E$

设 $A=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$，$B=(3\ \ 1\ \ -2)$，求 $(AB)^n$

先计算 $AB$：

$$AB = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} (3\ \ 1\ \ -2) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -3 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$

再计算 $BA$：

$$BA = (3\ \ 1\ \ -2)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \times 1 + 1 \times (-1) + (-2) \times 2 = -2$$

利用 $BA$ 是常数的性质，求 $(AB)^n$：

$$(AB)^n = (AB)(AB)\cdots(AB) = A(BA)(BA)\cdots(BA)B = A(-2)^{n-1}B = (-2)^{n-1}AB$$

最终结果：

$$(AB)^n = (-2)^{n-1} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ -3 & -1 & 2 \\ 6 & 2 & -4 \end{pmatrix}$$

已知 $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & -12 \end{pmatrix}$，求 $A^{100}$

分析矩阵：
矩阵 $A$ 的三行成比例，秩 $r(A)=1$，可以分解为列向量乘以行向量：

$$A = \alpha\beta^T$$

其中：

$$\alpha = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},\quad \beta^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$$

计算 $\beta^T\alpha$：

$$\beta^T\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 2 + 2 - 12 = -8$$

利用秩1矩阵的幂公式：

$$A^{100} = (\alpha\beta^T)^{100} = \alpha(\beta^T\alpha)^{99}\beta^T = (-8)^{99}\alpha\beta^T$$

最终结果：

$$A^{100} = -8^{99} \begin{pmatrix} 2 & 4 & -6 \\ 1 & 2 & -3 \\ 4 & 8 & -12 \end{pmatrix}$$

设矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，$n\ge2$ 为整数，求 $A^n-2A^{n-1}$

先计算 $A^2$：

$$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2A$$

利用递推关系化简：

$$A^n-2A^{n-1} = A^{n-2}(A^2-2A) = A^{n-2} \cdot O = O$$

最终结果：

$$A^n-2A^{n-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ 成立的充要条件是（）

选项：
(A) $A=E$
(B) $B=E$
(C) $AB=BA$
(D) $A=B$

推导：

$$(A+B)^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$$

等式成立需满足：

$$AB+BA=2AB \implies BA=AB$$

答案：$\boldsymbol{(C)}$

矩阵的转置

定义：将矩阵 $A$ 的各行依次变为列后得到的矩阵，即为 $A$ 的转置矩阵 $A^T$。

若 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix}$，则：$A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

若 $B=\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$，则：$B^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

转置矩阵的性质

1. $(A^T)^T = A$

2. $(A+B)^T = A^T + B^T$，$(A-B)^T = A^T - B^T$

3. $(kA)^T = kA^T$，$k$ 为常数

4. $(AB)^T = B^T A^T$，推广： $(A_1 A_2 \cdots A_m)^T = A_m^T \cdots A_2^T A_1^T$

5. $(A^k)^T = (A^T)^k$，$k$ 为正整数

对称矩阵

定义：若矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$，则称 $A$ 为对称矩阵。

性质：

• 主对角线为任意数
• 以主对角线为轴上下对应相等

等价定义：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A=(a_{ij})_{n \times n}$，若 $a_{ij} = a_{ji}$（对所有 $i,j$），则 $A$ 为对称矩阵。

等价关系：
$A=(a_{ij})_{n \times n}$ 为对称矩阵 $\iff A^T = A \iff a_{ij} = a_{ji}$

例子：$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ 是对称矩阵。$B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & 4 & 5 \end{pmatrix}$ 不是对称矩阵。

对称矩阵的结论

1. 若 $A, B$ 为同阶对称矩阵，则 $A+B, A-B$ 仍为对称矩阵。

​ 证明：
​ 已知 $A^T=A, B^T=B$，则
​ $(A+B)^T = A^T+B^T = A+B$，故 $A+B$ 为对称矩阵；
​ $(A-B)^T = A^T-B^T = A-B$，故 $A-B$ 为对称矩阵。

2. 若 $A$ 为对称矩阵，则 $kA, A^m$ 仍为对称矩阵（$k$ 为常数，$m$ 为正整数）。

​ 证明：
​ $(kA)^T = kA^T = kA$；
​ $(A^m)^T = (A^T)^m = A^m$。

3. 若 $A, B$ 为同阶对称矩阵，则 $AB$ 为对称矩阵的充要条件是 $AB=BA$。

​ 证明

• 充分性：若 $AB=BA$，则 $(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，故 $AB$ 为对称矩阵。
• 必要性：若 $AB$ 为对称矩阵，则 $(AB)^T = AB = B^T A^T = BA$，故 $AB=BA$。

4. 对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，则 $A^TA$、$AA^T$ 均为对称矩阵。

​ 证明：

​ 对 $A^TA$：$(A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA$，故 $A^TA$ 为对称矩阵。

​ 对 $AA^T$：$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T$，故 $AA^T$ 为对称矩阵。

反对称矩阵

定义：设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，则：$A$ 为反对称矩阵 $\iff A^T = -A \iff a_{ij} = -a_{ji}$（对所有 $i,j$）。

性质

• 主对角线元素全为 0；
• 关于主对角线对称位置的元素互为相反数。

例子：$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$ 是反对称矩阵；$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$ 不是反对称矩阵。

反对称矩阵的结论

1. 若 $A, B$ 为同阶反对称矩阵，则 $A+B, A-B$ 仍为反对称矩阵。

​ 证明：已知 $A^T=-A, B^T=-B$，则$(A+B)^T = A^T+B^T = -A-B = -(A+B)$，故 $A+B$ 为反对称矩阵；同理，$(A-B)^T = A^T-B^T = -A+B = -(A-B)$，故 $A-B$ 也为反对称矩阵。

2. 若 $A$ 为反对称矩阵，$k$ 为常数，则 $kA$ 仍为反对称矩阵。

​ 证明：$(kA)^T = kA^T = k(-A) = -(kA)$，故 $kA$ 为反对称矩阵。

3. 若 $A$ 为反对称矩阵，$k$ 为正整数，则 $A^k$ 的性质为：

• 当 $k$ 为偶数时，$A^k$ 是对称矩阵；
• 当 $k$ 为奇数时，$A^k$ 是反对称矩阵。

​ 证明：
$(A^k)^T = (A^T)^k = (-A)^k = (-1)^k A^k$，
当 $k$ 为偶数时，$(-1)^k=1$，故 $(A^k)^T=A^k$，为对称矩阵；
当 $k$ 为奇数时，$(-1)^k=-1$，故 $(A^k)^T=-A^k$，为反对称矩阵。

方阵的行列式

定义：设$A=(a_{ij})_{n\times n}$为方阵，则行列式$$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$称为矩阵 $A$ 的行列式，记为$|A|$，或$\det{A}$。

【注】 $A$ 的行列式 $|A|$ 是一个数。 只有方阵才有行列式。

例如 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$，则 $|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}=-5$。

性质

设 $A$，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 为常数，$m$为正整数：

1. $|A^T| = |A|$；
2. $|kA| = k^n|A|$；（重要）
3. $|AB| = |A| \cdot |B|$；
4. $|A^m| = |A|^m$；
5. $|E| = 1$（$E$ 为单位矩阵）。

例一：设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$， 计算 $|2A|$ 与 $|A|A$。 解： $|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 1\times\begin{vmatrix}3&0\\4&5\end{vmatrix} = 1\times(15-0) = 15$。 $|2A| = 2^3|A| = 8\times15 = 120$。 $|A|A = 15\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & 30 & 0 \\ 0 & 45 & 0 \\ -15 & 60 & 75 \end{pmatrix}$。

例二：设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A|=3$，则：

1. 计算$||A|A^T|$：

   $$\begin{align*} ||A|A^T| &= |3A^T| \\ &= 3^n |A^T| \\ &= 3^n \cdot |A| \\ &= 3^n \cdot 3 \\ &= 3^{n+1} \end{align*}$$

2. 计算 $||A|A^2|$

   $$\begin{align*} ||A|A^2| &= |3A^2| \\ &= 3^n |A^2| \\ &= 3^n \cdot |A|^2 \\ &= 3^n \cdot 3^2 \\ &= 3^{n+2} \end{align*}$$

3. 计算 $|||A|A|A|$

   $$||A|A| = 3^n |A| = 3^{n+1}$$

$$\begin{align*} |||A|A|A| &= \left| |3A|A \right| \\ &= |3^n |A| A| \\ &= |3^{n+1}A| \\ &= (3^{n+1})^n |A| \\ &= 3^{n^2 + n} \cdot 3 \\ &= 3^{n^2 + n + 1} \end{align*}$$

例3 已知 $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，$E$ 为2阶单位矩阵，矩阵 $B$ 满足 $BA=B+2E$，求 $|B|$。

❌ 常见错误：写成 $(A-E)B=2E$ 或 $B(A-1)=2E$，都是矩阵乘法顺序或写法错误。

矩阵方程变形

从方程 $BA=B+2E$ 出发：

4. 移项：$BA - B = 2E$
5. 右边的 $B$ 写成 $B \cdot E$：$BA - BE = 2E$
6. 提取公因子（注意矩阵乘法顺序，公因子在左边）：$B(A-E) = 2E$

计算 $A-E$

$A-E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

两边取行列式

利用行列式性质：$|B(A-E)| = |B| \cdot |A-E|$，右边 $|2E|=2^2|E|=4$。

计算 $|A-E|$：
$|A-E| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times 1 - 1 \times (-1) = 2$

求解 $|B|$

代入等式：
$|B| \cdot |A-E| = 4$
$|B| \cdot 2 = 4$
解得：$|B| = 2$

例4 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^TA=E$，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $|A|<0$，则 $|A+E|=$？

由 $A^TA=E$ 推导 $|A|$ 的值

$$|A^TA| = |E|$$

利用行列式性质：$|A^T|=|A|$，$|AB|=|A||B|$，得：

$$|A^T||A| = 1 \implies |A|^2 = 1$$

又已知 $|A|<0$，故 $|A|=-1$。

⚠️ 易错点提醒

行列式没有 $|A+B|=|A|+|B|$ 这种公式，所以不能直接用 $|A+E|=|A|+|E|=-1+1=0$ 来计算，这种做法是完全错误的。

正确的公式只有：

• $|AB|=|A||B|$（$A,B$ 为同阶方阵）
• $|A^T|=|A|$

正确推导 $|A+E|$

利用已知条件 $A^TA=E$，把 $E$ 替换成 $A^TA$：

$$|A+E| = |A + A^TA|$$

提取公因子 $A$（注意矩阵乘法顺序）：

$$|A + A^TA| = |(E + A^T)A|$$

利用行列式乘法性质 $|AB|=|A||B|$：

$$|(E + A^T)A| = |E + A^T| \cdot |A|$$

已知 $|A|=-1$，代入得：

$$|E + A^T| \cdot |A| = -|E + A^T|$$

又因为 $E = E^T,(E+A)^T = E^T + A^T = E + A^T$，而 $|C^T|=|C|$，所以：

$$|E + A^T| = |(E + A)^T| = |E + A| = |A + E|$$

因此：

$$|A+E| = -|A+E|$$

移项得：

$$2|A+E| = 0 \implies |A+E| = 0$$

方阵的伴随矩阵

定义：设$A=(a_{ij})_{n\times n}$，$|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式为 $A_{ij}\ (i,j=1,2,\dots,n)$，则矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 定义为：

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \dots & A_{nn} \end{pmatrix}$$

【注】：

1. $A^*$ 的元素是 $a_{ij}$ 的代数余子式，构造时需要将行的代数余子式放到对应列上（即按行求，按列放）。
2. 任意方阵都有伴随矩阵。
3. 只有方阵才有伴随矩阵。

例1

设$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$求 $A^*$。

计算所有代数余子式

$$\begin{align*} A_{11} &= (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = 1 \\ A_{12} &= (-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = -5 \\ A_{13} &= (-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1 \\ A_{21} &= (-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = -3 \\ A_{22} &= (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 4\end{vmatrix} = 3 \\ A_{23} &= (-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0 \\ A_{31} &= (-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 2 \\ A_{32} &= (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = -1 \\ A_{33} &= (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1 \end{align*}$$

步骤2：按伴随矩阵的规则构造 $A^*$

将 $A_{ij}$ 按行求、按列放，得到：

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\ -5 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

性质

1. 对任意方阵 $A$，都有 $AA^* = A^*A = |A|E$。（不管$A$是否可逆均成立）

以3阶方阵为例推导

设$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$， $A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$
其中 $A_{ij}$ 是 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

计算 $AA^*$：
$AA^* = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$

根据行列式按行展开的性质：

• 主对角线元素：$a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3} = |A|$
• 非主对角线元素：$a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + a_{i3}A_{j3} = 0\ (i\neq j)$

因此：
$AA^* = \begin{pmatrix} |A| & 0 & 0 \\ 0 & |A| & 0 \\ 0 & 0 & |A| \end{pmatrix} = |A| \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = |A|E$

同理可证 $A^*A = |A|E$。

2. 若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A^*| = |A|^{n-1}$。（不管$A$是否可逆均成立）

① 当 $|A|=0$ 且 $r(A)<n-1$ 时：
$A$ 的所有 $n-1$ 阶子式全为 $0$，因此 $A^*=O$（零矩阵），
此时 $|A^*|=0$，而 $|A|^{n-1}=0^{n-1}=0$，
故 $|A^*|=|A|^{n-1}$ 成立。

② 当 $|A|=0$ 且 $r(A)=n-1$ 时：
由 $AA^*=|A|E=O$，可知 $A^*$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解。
$Ax=0$ 的基础解系含 $n-r(A)=n-(n-1)=1$ 个线性无关解，因此 $r(A^*)\le1$。
又因 $r(A)=n-1$，$A$ 至少有一个 $n-1$ 阶子式非零，故 $r(A^*)=1$。
秩为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵（$n\ge2$）行列式必为 $0$，即 $|A^*|=0$，
而 $|A|^{n-1}=0^{n-1}=0$，故 $|A^*|=|A|^{n-1}$ 成立。

③ 当 $|A|\ne0$（$A$ 可逆）时：
已知 $AA^*=|A|E$，两边同时取行列式：
$|AA^*|=||A|E|$
左边：$|AA^*|=|A|\cdot|A^*|$
右边：由行列式数乘性质 $|kE|=k^n$，得 $||A|E|=|A|^n\cdot|E|=|A|^n$
联立得：$|A|\cdot|A^*|=|A|^n$
因 $|A|\ne0$，两边除以 $|A|$，得：
$|A^*|=|A|^{n-1}$

综上，对任意 $n$ 阶方阵 $A$，均有 $|A^*|=|A|^{n-1}$。

3. $(A^T)^* = (A^*)^T$

设3阶方阵：

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

1. 先求 $A^*$ 再转置

伴随矩阵定义：

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$$

其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。

对 $A^*$ 转置：

$$(A^*)^T = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$$

2. 先转置 $A$ 再求伴随

$A$ 的转置：

$$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$$

注意：转置不改变行列式的代数余子式，即 $A^T$ 中 $a_{ji}$ 的代数余子式就是 $A_{ij}$。因此：

$$(A^T)^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix}$$

对比可得：

$$(A^T)^* = (A^*)^T$$

4. $(kA)^* = k^{n-1}A^*$

以3阶矩阵为例推导，设 $A$ 为3阶方阵，常数 $k$：

$$kA = \begin{pmatrix} ka & kb & kc \\ kd & ke & kf \\ kh & ki & kg \end{pmatrix}$$

取 $kA$ 的元素 $(1,1)$ 的代数余子式：

$$A_{11}(kA) = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} ke & kf \\ ki & kg \end{vmatrix} = k^2 (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f \\ i & g \end{vmatrix} = k^2 A_{11}(A)$$

同理，$kA$ 的所有代数余子式都等于 $k^{3-1}=k^2$ 乘以 $A$ 对应的代数余子式，因此：

$$(kA)^* = k^{2}A^*$$

推广到 $n$ 阶方阵，每个 $n-1$ 阶代数余子式都会提出 $k^{n-1}$，故：

$$(kA)^* = k^{n-1}A^*$$

5. 若二阶方阵$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则其伴随矩阵为：$A^* = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 主对角线元素互换位置，副对角线元素变相反数

根据伴随矩阵的定义，$A^*$ 的元素是 $A$ 的代数余子式：

• $A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} d \end{vmatrix} = d$
• $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} c \end{vmatrix} = -c$
• $A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b \end{vmatrix} = -b$
• $A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a \end{vmatrix} = a$

将代数余子式转置，得到伴随矩阵：

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

例 设$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$计算：$|2A^*|$

按第三行展开行列式：

$$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 5 \times (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 5 \times (2 \times 1 - 1 \times 1) = 5 \times 1 = 5$$

1. 行列式数乘性质：$|kM| = k^n |M|$，这里 $k=2$，$n=3$（$A$ 是3阶方阵）

   $$|2A^*| = 2^3 |A^*| = 8 |A^*|$$

2. 伴随矩阵行列式公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$，这里 $n=3$

   $$|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2 = 5^2 = 25$$

$$|2A^*| = 8 \times 25 = 200$$

最终答案：$|2A^*| = 200$

设三阶矩阵 $A=(a_{ij})_{3\times3}$ 满足 $A^*=A^T$，若 $a_{11},a_{12},a_{13}$ 为三个相等的正数，则 $a_{11}=$？

步骤1：由 $A^*=A^T$ 推导核心关系

伴随矩阵定义为：

$$A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix}$$

其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
转置矩阵定义为：

$$A^T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}$$

由 $A^*=A^T$，对应元素相等，可得：

$$a_{ij} = A_{ij} \quad (\forall i,j)$$

步骤2：计算行列式 $|A|$

按第一行展开行列式：

$$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$$

代入 $a_{ij}=A_{ij}$，得：

$$|A| = a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2$$

已知 $a_{11},a_{12},a_{13}$ 为三个相等的正数，设 $a_{11}=a_{12}=a_{13}=x>0$，则：

$$|A| = 3x^2 > 0$$

步骤3：利用伴随矩阵行列式公式

伴随矩阵行列式满足：

$$|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$$

又 $A^*=A^T$，而 $|A^T|=|A|$，因此：

$$|A|^2 = |A|$$

整理得：

$$|A|(|A|-1)=0$$

解得 $|A|=0$ 或 $|A|=1$。
结合 $|A|=3x^2>0$，排除 $|A|=0$，故 $|A|=1$。

步骤4：求解 $a_{11}$

将 $|A|=1$ 代入 $|A|=3x^2$，得：

$$3x^2 = 1$$

解得：

$$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

因此：

$$a_{11} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

最终答案：$\boldsymbol{a_{11} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}}$

逆矩阵

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使$AB = BA = E$，则称 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$，即 $A^{-1} = B$。

设矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

验证 $A$ 与 $B$ 是否互为逆矩阵：

1. 计算 $AB$：

$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$$

2. 计算 $BA$：

$$BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$$

因为 $AB = BA = E$，根据逆矩阵的定义，矩阵 $A$ 可逆，其逆矩阵为：$A^{-1} = B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

【注】若$A$是一个$n$阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。

$AB_1 = B_1A = E$

$AB_2 = B_2A = E$

$B_1 = B_1E = B_1(AB_2) = (B_1A)B_2 = EB_2 = B_2$

又如$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，对于任意二阶方阵$B$，都有$AB \neq E$，则$A$不可逆，没有逆矩阵。

【注】未必任何方阵都有逆矩阵．方阵分为可逆，不可逆，二者必居其一．

矩阵可逆的判定，及逆矩阵求法

定义 当 $|A| \neq 0$ 时，称 $A$ 为非奇异矩阵，当 $|A| = 0$ 时，称 $A$ 为奇异矩阵。

方阵可逆的充要条件：$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $|A| \neq 0$，且 $A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$。

（1）必要性
如果 $A$ 可逆，则 $AA^{-1} = E$，从而 $|A||A^{-1}| = |AA^{-1}| = |E| = 1$，则 $|A| \neq 0$。又
$AA^* = A^*A = |A|E,$
从而
$A\frac{1}{|A|}A^* = \frac{1}{|A|}A^*A = E,$
故
$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*.$

（2）充分性
当 $|A| \neq 0$ 时，因为 $A\frac{1}{|A|}A^* = \frac{1}{|A|}A^*A = E$，则 $A$ 可逆，且$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$。

推论 设 $A,B$ 为同阶方阵，若 $AB = E$，则方阵 $A$ 和 $B$ 都可逆，且 $A^{-1}=B, B^{-1}=A$。

证 因为 $AB = E$，所以 $|A||B| = |AB| = |E| = 1$，从而 $|A| \neq 0$，

故 $A$ 可逆，于是$B = EB = A^{-1}AB = A^{-1}E = A^{-1}.$

结论：对角形矩阵 $A=\begin{pmatrix}a_1&&&\\&a_2&&\\&&\ddots&\\&&&a_n\end{pmatrix}$ 可逆的充要条件是 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 都不等于零，且 $|A|=a_1a_2\cdots a_n\neq 0$ $A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{a_1}&&&\\&\dfrac{1}{a_2}&&\\&&\ddots&\\&&&\dfrac{1}{a_n}\end{pmatrix}$

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可逆矩阵的性质

1. 若方阵$A$可逆，则其逆矩阵$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$

证明：$|A| \neq 0$，$AA^{-1}=E$，$|A| \cdot |A^{-1}| = |E| = 1$

故$|A^{-1}| \neq 0$ 又$AA^{-1} = A^{-1}A = E$，

所以$(A^{-1})^{-1} = A$

2. 若$A$可逆，则$A^T$也可逆，且$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。（$^T,^{-1}$可以交换）

已知 $|A| \neq 0$，则$|A^T|=|A| \neq 0$，所以$A^T$也可逆

又因为 $A^TB^T=(BA)^T$，所以$A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E^T=E$，即$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$。

3. 若$A$可逆，$k$为非零常数，则$kA$也可逆，且$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$。

已知$|A| \neq 0$，所以$|kA| = k^n|A| \neq 0$

因为$|kA| = k^n|A|,\ (kA)^* = k^{n-1}A^*$，且$(kA)^{-1} = \frac{1}{|kA|}(kA)^*,A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*$

可得$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$

所以$kA \cdot \frac{1}{k}A^{-1} = AA^{-1} = E$，故$kA$ 可逆，且$(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$

4. 若$A$可逆，则$A^*$也可逆，且$(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A$。（$^*,^{-1}$可以交换）

已知$|A| \neq 0$，所以$|A^*|=|A|^{n-1} \neq 0$

• 证明$(A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

  因为$AA^*=A^*A=|A|E,\ |A| \neq 0$（无论$A$可逆或$A$不可逆都成立）

  变形得$\left(\frac{1}{|A|}A\right)A^*=A^*\left(\frac{1}{|A|}A\right)=E,\text{即} (A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

• 证明$(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A$

  因为$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$变形得$A^*=|A|A^{-1}$

  将$A$替换成$A^*$得$(A^{-1})^*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}$，又因为性质一$(A^{-1})^{-1}=A$

  所以$(A^{-1})^*=|A^{-1}|(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{|A|}A$。

5. 若$A$，$B$为同阶可逆方阵，则$AB$也可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。

已知$|A| \neq 0,\ |B| \neq 0,\ |AB|=|A| \cdot |B| \neq 0$

所以$AB \cdot B^{-1}A^{-1}=A E A^{-1}=A A^{-1}=E$ 即$AB$可逆，且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。

6. （6）若$A$可逆，$m$为正整数，则$A^m$也可逆，且$(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m$。

已知$|A| \neq 0,\ |A^m|=|A|^m \neq 0$

根据性质五$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$变形得

$(AA)^{-1}=A^{-1}A^{-1}$

$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$

$(A^{-1})^2=A^{-2}$

7. 若$A$可逆，则$|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$。

已知$|A| \neq 0$

$AA^{-1}=E$变形得

$|A| \cdot |A^{-1}|=1,\ |A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$

【例】已知 $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\2&2&0\\3&4&5\end{pmatrix}$，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，求 $(A^*)^{-1}$。 $A^*=|A|A^{-1},\ (A^*)^{-1}=(|A|A^{-1})^{-1}=\frac{1}{|A|}(A^{-1})^{-1}=\frac{1}{|A|}A=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}1&0&0\\2&2&0\\3&4&5\end{pmatrix}$

【例】已知矩阵 $A$ 满足 $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}$，求 $(A^*)^{-1}$。 $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}^*=\begin{pmatrix}5&-2&-1\\-2&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

【例 8】已知 $A,B$ 为三阶方阵，且 $|A|=3,|B|=2,|A^{-1}+B|=2$，则 $|A+B^{-1}|=\underline{\hspace{1cm}}$。

$$\begin{align*} |A||A^{-1}+B||B^{-1}| &= |A|\cdot 2\cdot |B^{-1}| \\ |A(A^{-1}+B)B^{-1}| &= 3\cdot 2\cdot \frac{1}{2} \\ |(E+AB)B^{-1}| &= 3 \\ |B^{-1}+A| &= 3 \end{align*}$$

【例 】设矩阵 $D=A^{-1}B^T(CB^{-1}+E)^T-[(C^{-1})^TA]^{-1}$， 其中 $A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\frac{1}{2}&0\\0&0&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&10\end{pmatrix}$，求矩阵 $D$。

$$\begin{align*} D &= A^{-1}B^T\left((CB^{-1})^T+E^T\right)-A^{-1}\left((C^{-1})^T\right)^{-1} \\ &= A^{-1}B^T\left((B^{-1})^TC^T\right)+A^{-1}B^T-A^{-1}\left((C^{-1})^{-1}\right)^T \\ &= A^{-1}B^T(B^T)^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T \\ &= A^{-1}C^T+A^{-1}B^T-A^{-1}C^T = A^{-1}B^T \\ &= \begin{pmatrix}1&&\\&2&\\&&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}1&2&0\\4&2&0\\0&0&3\end{pmatrix} \end{align*}$$

解矩阵方程

若 $A$，$B$ 均为可逆矩阵，则矩阵方程的求解规则如下：

1. $AX = C$，解为$X = A^{-1}C$

错误写法：$X = \frac{C}{A}$（矩阵没有除法运算）

正确推导：
等式两边同时左乘 $A^{-1}$
$A^{-1}AX = A^{-1}C$
由于 $A^{-1}A = E$（单位矩阵），因此：
$X = A^{-1}C$

2. $XA = C$，解为$X = CA^{-1}$

等式两边同时右乘 $A^{-1}$
$XAA^{-1} = CA^{-1}$
由于 $AA^{-1} = E$（单位矩阵），因此：
$X = CA^{-1}$

3. $AXB = C$，解为$X = A^{-1}CB^{-1}$

正确推导：
等式两边同时左乘 $A^{-1}$，再右乘 $B^{-1}$
$A^{-1}AXBB^{-1} = A^{-1}CB^{-1}$
由于 $A^{-1}A = E$，$BB^{-1} = E$（单位矩阵），因此：
$X = A^{-1}CB^{-1}$

解矩阵方程 $AX=2X+B$，其中 $A=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&-1\\0&1&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}3&6\\1&1\\2&-3\end{pmatrix}$

补充说明

• 矩阵方程中，移项后提取公因子时，必须注意矩阵乘法的顺序，不可写成 $X(A-2E)=B$。
• 矩阵没有除法运算，因此不能直接写成 $X=\frac{B}{A-2E}$，必须通过逆矩阵求解。

步骤1：整理方程

将含 $X$ 的项移到一侧：
$AX-2X=B$
引入单位矩阵 $E$，统一形式：
$AX-2EX=B$
提取公因子：
$(A-2E)X=B$

步骤2：计算 $A-2E$

$A-2E=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&1&-1\\0&1&4\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-1&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$

步骤3：判断 $A-2E$ 是否可逆

计算行列式：
$|A-2E|=2\times\begin{vmatrix}-1&-1\\1&2\end{vmatrix}=2\times(-2+1)=-2\neq0$
因此 $A-2E$ 可逆。

步骤4：求 $(A-2E)^{-1}$

通过伴随矩阵法或初等行变换可得：
$(A-2E)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&0\\0&-2&-1\\0&1&1\end{pmatrix}$

步骤5：求解 $X$

方程两边左乘 $(A-2E)^{-1}$：
$X=(A-2E)^{-1}B$
代入矩阵计算：
$X=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0&0\\0&-2&-1\\0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&6\\1&1\\2&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2}&3\\-4&1\\3&-2\end{pmatrix}$

已知 $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，$A^{-1}=A^*B+B$，求矩阵 $B$。

补充说明

• 本题的关键是利用 $AA^*=|A|E$ 化简含伴随矩阵的方程，避免直接求 $A^*$ 增加计算量。
• 矩阵乘法不满足交换律，提取公因子时必须注意顺序，不可写成 $B(E+A)=E$。

步骤1：利用伴随矩阵性质化简方程

由伴随矩阵性质 $AA^*=|A|E$，两边同时左乘 $A$，原方程 $A^{-1}=A^*B+B$ 可化为：
$A \cdot A^{-1} = A \cdot A^*B + A \cdot B$
$E = |A|E \cdot B + AB$

步骤2：计算行列式 $|A|$

$|A|=\begin{vmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=1$
代入 $|A|=1$，方程变为：
$E = B + AB$

步骤3：提取公因子，整理方程

$B + AB = E$
$(E + A)B = E$

步骤4：计算 $E+A$

$E+A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1&0\\1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1&0\\1&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$

步骤5：判断可逆并求逆矩阵

由 $(E+A)B=E$ 可知 $B=(E+A)^{-1}$。
通过初等行变换或伴随矩阵法，求得：
$B=(E+A)^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}&0\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}&0\\0&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换分为：行变换和列变换。

矩阵的初等行变换

矩阵的以下三种变换，称为矩阵的初等行变换：

1. 交换矩阵的两行；
2. 用数 $k \neq 0$ 乘矩阵某一行的所有元素；
3. 把矩阵某一行所有元素的 $l$ 倍加到另一行对应的元素上去。

注：初等列变换的定义与行变换类似，只需将“行”替换为“列”即可。

标准形矩阵

标准形矩阵的特点：元素只有两个数 $1$ 和 $0$ 组成，且矩阵的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为 $0$。

例如：

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

等都是标准形矩阵。

定理：任何矩阵 $A$ 都可以经过初等变换（行变换和列变换）化为标准形矩阵，并称此标准形矩阵为 $A$ 的标准形。

行阶梯形矩阵

满足以下两个条件的矩阵，称为行阶梯形矩阵：

1. 如果矩阵存在零行，则零行都在非零行的下面；
2. 任一非零行从左到右第一个非零元素（称为首非零元）所在的列中，在这个元素左下方的元素（若还有）全为零。

例如：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 4 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 6 & -4 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

都是行阶梯形矩阵。

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折线法：

1. 竖线只能经过一个数
2. 横线可经过多个数

由折线法得上图就不是一个行阶梯形矩阵

行最简阶梯形矩阵

特别地，若行阶梯形矩阵的首非零元都是1，且首非零元所在列上的其他元素都为零，则称为行最简形矩阵。

例如：

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

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都是行最简阶梯形矩阵。

定理

1. 任何矩阵都可经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵。
2. 任何矩阵都可经过若干次初等行变换化为行最简阶梯形矩阵。

变换流程

矩阵 $\xrightarrow{\text{行变换}}$ 行阶梯形矩阵 $\xrightarrow{\text{行变换}}$ 行最简阶梯形矩阵。

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初等矩阵

对单位矩阵施行一次初等变换后得到的矩阵叫做初等矩阵。显然三种初等变换对应相应的三种初等矩阵，初等矩阵都是方阵。下面三类矩阵就是全部的初等矩阵：

(1) 互换矩阵

互换单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行（或互换 $E$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列），得到初等矩阵：

$$E(i,j) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0 & \dots & 1 & & \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & & \\ & & 1 & \dots & 0 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix}$$

（其中第 $i$ 行和第 $j$ 行元素互换）

(2) 倍乘矩阵

用常数 $k \neq 0$ 乘单位矩阵 $E$ 的第 $i$ 行（或第 $i$ 列），得到初等矩阵：

$$E(i(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & k & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}$$

（其中第 $i$ 行主对角线元素为 $k$）

(3) 倍加矩阵

把单位矩阵 $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或把第 $i$ 列的 $k$ 倍加到第 $j$ 列），得到初等矩阵：

$$E(i,j(k)) = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & \dots & k & \\ & & & \ddots & \vdots & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots \end{pmatrix}$$

（其中第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $k$）

性质

行列式性质

初等矩阵的行列式都不为零，具体为：

• $|E(i,j)| = -1$
• $|E(i(k))| = k$
• $|E(ij(l))| = 1$

转置性质

初等矩阵的转置矩阵仍为同种类型的初等矩阵：

• $E(i,j)^T = E(i,j)$
• $E(i(k))^T = E(i(k))$
• $E(ij(l))^T = E(ji(l))$

可逆性性质

初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为同种类型的初等矩阵：

• $E(i,j)^{-1} = E(i,j)$
• $E(i(k))^{-1} = E\left(i\left(\frac{1}{k}\right)\right)$
• $E(ij(l))^{-1} = E(ij(-l))$

例题一：试写出下列矩阵的转置、逆矩阵及行列式

已知矩阵：

$$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$

矩阵 (A)

行列式：

$$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1$$

转置矩阵：

$$A^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

逆矩阵：

$$A^{-1} = A^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

矩阵 (B)

行列式：

$$|B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$$

转置：

$$B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

逆矩阵：

$$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

矩阵 (C)

行列式：

$$|C| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 4$$

转置：

$$C^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$$

逆矩阵：

$$C^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

设 A 为 m \times n 矩阵，则：

初等矩阵与矩阵的初等变换的关系

行变换 ↔ 左乘
对 A 进行一次初等行变换得到的矩阵，等于用同种类型的$m$阶初等矩阵左乘 A。 即：$B = E_{行} \cdot A$
列变换 ↔ 右乘
对 A 进行一次初等列变换得到的矩阵，等于用同种类型的$n$阶初等矩阵右乘 A。 即：$B = A \cdot E_{列}$

例一

设 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix}_{3 \times 4}$，对 $A$ 做初等列变换： $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \xrightarrow{C_3 - 3C_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & -8 & 8 \\ 9 & 10 & -16 & 10 \end{pmatrix}$
相当于对4阶单位矩阵做同样的行(列)变换$\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{C_3 - 3C_1} \begin{pmatrix} 1 & & -3& \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix}$之后左(右)乘的结果$A P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & & -3& \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 5 & 6 & -8 & 8 \\ 9 & 10 & -16 & 10 \end{pmatrix}$

例二

设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 1 & 4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -3 & 1 \\ -1 & 5 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}, Q=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
(1) 求初等矩阵 $P$，使 $PA=B$。
(2) 求 $AQ$。
1、观察可得$A\xrightarrow{}B$是行变换，变换的是$r_1\leftrightarrow{}r_3$，所以$P = \begin{pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1\leftrightarrow{}r_3} \begin{pmatrix} & & 1 \\ & 1 & \\ 1& & \end{pmatrix}$
2、观察题目可知$Q$应为列变换$c_4+2c_2$得到，所以$A$也进行列变换可得$AQ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ -1 & 5 & 1 & 14 \\ 0 & 2 & -3 & 5 \end{pmatrix}$

矩阵的等价

定义：若矩阵 $A$ 可经过有限次初等变换化为矩阵 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A \cong B$。
等价关系可简记为：

$$A \cong B \iff A \to B$$

示例：

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{第1行乘}(-1)\text{加到第3行}} B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{交换第2、第3列}} C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$

此时有 $A \cong C$。

矩阵等价的性质

1. 反身性：对任何矩阵 $A$，都有 $A \cong A$；
2. 对称性：若矩阵 $A \cong B$，则 $B \cong A$；
3. 传递性：若矩阵 $A \cong B$，$B \cong C$，则 $A \cong C$。

矩阵等价有关的结论

1. 任意一个矩阵 $A_{m \times n}$ 都和其标准形矩阵等价
   标准形矩阵的形式为：

   $$D = \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & 1 & & \\ & & & 0 & \\ & & & & \ddots \\ & & & & & 0 \end{pmatrix}_{m \times n}$$

   （其中1的个数等于矩阵 $A$ 的秩，矩阵形状与 $A$ 相同）
   矩阵 $A$ 可通过初等行、列变换化为标准形。

2. 矩阵 $A \cong B$ 的充要条件（初等矩阵形式）
   矩阵 $A \cong B$ 的充要条件是：存在一系列初等矩阵 $P_1, P_2, \dots, P_s$ 与 $Q_1, Q_2, \dots, Q_t$，使得：

   $$P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = B$$

3. 矩阵 $A \cong B$ 的充要条件（可逆矩阵形式）
   矩阵 $A \cong B$ 的充要条件是：存在可逆矩阵 $P, Q$，使得：

   $$PAQ = B$$

4. 若矩阵 $A \cong B$，则 $A$ 与 $B$ 的标准形相同。

5. 若矩阵 $A \cong B$，则 $A$ 与 $B$ 的秩相等，即 $r(A) = r(B)$。

6. 若 $A, B$ 为同型矩阵，则 $A \cong B$ 的充要条件是 $r(A) = r(B)$。

7. 若 $A, B$ 为同阶方阵，且 $A \cong B$，则 $|A| = k|B|$（其中 $k \neq 0$）。

$|A|,|B|同时为0,或同时不为0$

8. 若 $A, B$ 为同阶方阵，且 $A \cong B$，则 $A, B$ 同时可逆，或同时不可逆。
9. 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆的充要条件为 $A \cong E$。
10. 设 $A$ 为方阵，则 $A$ 可逆的充要条件是 $A$ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

例一：设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 等价，则必有（ ）

(A) 若 $|A|=a(a\neq0)$，有 $|B|=a$。
(B) 若 $|A|=a(a\neq0)$，有 $|B|=-a$。
(C) 若 $|A|\neq0$，有 $|B|=0$。
(D) 若 $|A|=0$，有 $|B|=0$。
根据结论7直接秒了，选D

例二：与矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{pmatrix}$ 等价的矩阵是（B）。

(A) $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ (B) $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$ (C) $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ (D) $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$