第一章-行列式

二、三阶行列式

二阶行列式

$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21},a_{ij}$ 中 $i$ 代表行，$j$ 代表列

三阶行列式

同二阶行列式的定义类似，三阶行列式的定义如下：

定义 九个数 $a_{ij} \ (i,j=1,2,3)$ 排成三行三列，两边加竖线，称为三阶行列式，它表示一个数，其定义式为：

$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}.$$

特殊的行列式

1. 上三角行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$

2. 下三角行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$

3. 对三角行列式 $\begin{vmatrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}$

排列和逆序

n 阶行列式定义：对于 $n$ 阶行列式的概念，大家要有一个简单的了解： $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$

是所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积 $a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$ 的代数和，这里 $j_1j_2\cdots j_n$ 是 $1,2,\dots,n$ 的一个排列。
当 $j_1j_2\cdots j_n$ 是偶排列时，该项的前面带正号；当 $j_1j_2\cdots j_n$ 是奇排列时，该项的前面带负号，

即 $\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1j_2\cdots j_n} (-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}.$

这里 $\sum\limits_{j_1j_2\cdots j_n}$ 表示对所有 $n$ 阶排列求和。式 (1) 称为 $n$ 阶行列式的完全展开式。

【注】所谓排列是指由 $n$ 个数 $1,2,\dots,n$ 所构成的一个有序数组，通常用 $j_1j_2\cdots j_n$ 表示 $n$ 阶排列，显然共有 $n!$ 个 $n$ 阶排列。

一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总数称为这个排列的 逆序数。用 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$ 表示排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数。

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为 偶排列，否则称之为 奇排列。

例如，$a_{12}a_{24}a_{33}a_{41}$ 是四阶行列式中的一项，那么该项所带的符号由 $\tau(2431)=1+2+1=4$（即 2 有 1 个逆序，4 有 2 个逆序，3 有 1 个逆序）确定，是偶排列，故取正号。（看数字后面有几个比它小的就有几个逆序）

又如，$a_{13}a_{25}a_{31}a_{42}a_{54}$ 是五阶行列式中的一项，由 $\tau(35124)=2+3=5$ 是奇排列，故在行列式中应取负号。

例 1 判断 $n$ 级排列 $n(n-1)\cdots321$ 的奇偶性

逆序数计算

排列 $n(n-1)\cdots321$ 的逆序数为：$N(n(n-1)\cdots321) = \frac{n(n-1)}{2}$

分情况讨论奇偶性

1. 当 $n = 4k$ 时：
   $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{4k(4k-1)}{2} = 2k(4k-1)$
   结果为偶数，排列为 偶排列。

2. 当 $n = 4k+1$ 时：
   $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+1) \cdot 4k}{2} = (4k+1) \cdot 2k$
   结果为偶数，排列为 偶排列。

3. 当 $n = 4k+2$ 时：
   $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+2)(4k+1)}{2} = (2k+1)(4k+1)$
   结果为奇数，排列为 奇排列。

4. 当 $n = 4k+3$ 时：
   $\frac{n(n-1)}{2} = \frac{(4k+3)(4k+2)}{2} = (4k+3)(2k+1)$
   结果为奇数，排列为 奇排列。

定义 在一个排列中，将某两个元素对调位置而其余元素保持不变的操作称为 对换。

定理 对换一次改变排列的奇偶性。

推论 1 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。

推论 2 由于 $n$ 个不同元素的全排列总数为 $n!$，在 $n$ 个不同元素的全排列中，奇偶排列各占一半，均为 $\dfrac{n!}{2}$ 个。

行列式的性质

记

$$|A|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}, \quad |A^\text{T}|= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix},$$

行列式 $|A^\text{T}|$ 称为 $|A|$ 的 转置行列式。

性质 1

经过转置，行列式的值不变，即 $|A^\text{T}| = |A|$。

以三阶行列式为例：

$$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}.$$

由此可知行列式 行的性质与列的性质是对等的（以下性质均以三阶行列式为例说明）。

性质 2

两行（或列）互换位置，行列式的值变号。

特别地，两行（或列）相同，行列式的值为 $0$。

性质 3

某行（或列）如有公因子 $k$，则可把 $k$ 提出行列式记号外（亦即用数 $k$ 乘行列式 $|A|$ 等于用 $k$ 乘它的某行或列）。

特别地：

1. 某行（或列）的元素全为 $0$，行列式的值为 $0$。

2. 若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为 $0$。

性质 4

如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和。

$$\begin{vmatrix} a_1+b_1 & a_2+b_2 & a_3+b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix}.$$

性质 5

把某行（或列）的 $k$ 倍加到另一行（或列），行列式的值不变。

$$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1+ka_1 & b_2+ka_2 & b_3+ka_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.$$

题目

设 $n$ 阶行列式 $D=|a_{ij}|$，其元素满足反对称条件：$a_{ij} = -a_{ji},\quad i,j=1,2,\dots,n$
证明 当 $n$ 为奇数时，行列式 $D=0$。

反对称行列式特征

• 主对角线元素全为 0：因为 $a_{ii}=-a_{ii}$，所以 $a_{ii}=0$。

• 以主对角线为轴，上下对称位置的元素互为相反数。

结论：奇数阶反对称行列式的值为 $0$。

证明：$D= \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix}$

对行列式取转置：
根据行列式性质 1，转置不改变行列式的值：
$D = |A^T| = \begin{vmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{vmatrix}$
$D = |A^T| = \begin{vmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{vmatrix}$

提取每行的公因子 $-1$：
行列式有 3 行，提取公因子 $(-1)^3$：
$D = (-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix} = -D$$D = (-1)^3 \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix} = -D$

解方程 $D=-D$：
$2D=0 \implies D=0$

推广到一般奇数阶

对于 $n$ 阶反对称行列式（$n$ 为奇数）：

转置行列式 $|A^T| = |A| = D$。

由反对称条件 $a_{ij}=-a_{ji}$，转置后的行列式可表示为：
$|A^T| = |-A| = (-1)^n |A|$

因为 $n$ 为奇数，$(-1)^n=-1$，故：
$D = -D \implies 2D=0 \implies D=0$

当 $n$ 为偶数时：
$D=(-1)^4 D = D$
该式恒成立，因此 偶数阶反对称行列式的值不一定为 0，如 2 阶反对称行列式：

$$\begin{vmatrix} 0 & a \\ -a & 0 \end{vmatrix} = a^2 \neq 0$$

行列式按行(列)展开公式

在 $n$ 阶行列式

$$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 $n-1$ 阶行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \dots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1} & \dots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \dots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1} & \dots & a_{i+1,n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

称其为 $a_{ij}$ 的 余子式，记为 $M_{ij}$；称 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的 代数余子式，记为 $A_{ij}$，即
$A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}.$

 【注】$A_{ij}$ 与 $a_{ij}$ 的数值大小无关

定理: $n$ 阶行列式等于它的 任何一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
$|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{ik},\ i=1,2,\dots,n. 按行$

$|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \dots + a_{nj}A_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{kj}A_{kj},\ j=1,2,\dots,n. 按列$
前一个公式称 $|A|$ 是按第 $i$ 行展开的展开式，后一个公式称 $|A|$ 是按第 $j$ 列展开的展开式。

按0比较多的行(列)展开好计算

image-20260507161628285

定理 2(异乘变零定理): 行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为 $0$，即
$\sum_{k=1}^{n} a_{ik}A_{jk} = a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + \dots + a_{in}A_{jn} = 0,\ i \neq j.$

$\sum_{k=1}^{n} a_{ki}A_{kj} = a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \dots + a_{ni}A_{nj} = 0,\ i \neq j.$

image-20260507164113329

在用展开公式的时候，还要注意下面几个特殊情况的配合：

(1) 上（下）三角形行列式

上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

(2) 关于副对角线的行列式

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2,n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \dots & 0 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & \dots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \dots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}.$$

行列式按多行(列)展开公式 (拉普拉斯定理)

k 阶子式：

$n$ 阶矩阵中任取 $k$ 行 $k$ 列，按原顺序构成的 $k$ 阶行列式，记为 $N$。

余子式： 划去 $k$ 阶子式 $N$ 所在 $k$ 行 $k$ 列，剩余元素构成 $n-k$ 阶行列式，为 $N$ 的 余子式，记作 $M$。

代数余子式: 子式 $N$ 在第 $i_1,i_2,\dots,i_k$ 行、第 $j_1,j_2,\dots,j_k$ 列：$A=(-1)^{,(i_1+i_2+\dots+i_k),+,(j_1+j_2+\dots+j_k)}M$。

拉普拉斯定理： 任意 $n$ 阶行列式，选定 $k$ 行（或 $k$ 列），行列式值等于这 $k$ 行中所有 $k$ 阶子式 与其对应 代数余子式 乘积之和：$D = N_1 A_1 + N_2 A_2 + N_3 A_3 + \cdots + N_{\mathrm{C}_n^k} A_{\mathrm{C}_n^k}$

$\mathrm{C}_n^k$ 是从 $n$ 行中取 $k$ 行的组合数。

两个特殊的拉普拉斯展开式 适用于带有 0 块的行列式

如果 $A$ 和 $B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则

$$\begin{vmatrix} A & * \\ O & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A & O \\ * & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|,$$

$$\begin{vmatrix} O & A \\ B & * \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} * & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A| \cdot |B|.$$

例题部分

image-20260508122155512

(4) 范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \dots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod \limits_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)$.

image-20260510150256600

克拉默(Carmer)法则

两个前提：方程和未知量数量相等，$D \neq 0$.

若 $n$ 个方程 $n$ 个未知量构成的非齐次线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$的系数行列式$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}\neq 0$，则方程组有唯一解，且$x_i = \frac{D_i}{D},\quad i=1,2,\dots,n$，其中 $D_i$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $i$ 列元素（即第 $i$ 列的 $x_i$ 的系数）替换成方程组右端的常数项 $b_1,b_2,\dots,b_n$ 所构成的行列式。

$D_1 = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ b_2 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_n & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, \quad D_2 = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & b_2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & b_n & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

注：若 $D = 0$，方程组可能无解，也可能有无穷多解，但一定不是有唯一解。

推论

若包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知量的齐次线性方程组 $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = 0, \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\cdots\cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = 0 \end{cases}$的系数行列式 $D \neq 0$，则方程组只有零解。(充要条件)

反之，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式必为 $0$，即 $D = 0$。(充要条件)