向量

向量的概念

$n$维向量：$n$个数 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 所组成的有序数组，称为n维向量，记作：$\boldsymbol{\alpha} = (a_1,a_2,\dots,a_n)^T$或$\boldsymbol{\alpha} = (a_1,a_2,\dots,a_n)$，其中 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 叫做向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 的分量（或坐标）。
向量相等：$\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\beta} \iff \boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta} \text{ 同维，且 } a_i = b_i,\ i=1,2,\dots,n$。

向量线性运算

设 $\boldsymbol{\alpha}=(a_1,\dots,a_n),\ \boldsymbol{\beta}=(b_1,\dots,b_n)$，$k$ 为数
加法：$\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=(a_1+b_1,\dots,a_n+b_n)$
数乘：$k\boldsymbol{\alpha}=(ka_1,ka_2,\dots,ka_n)$
运算律（和矩阵运算一致）

1. 交换律：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\alpha}$
2. 结合律：$(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) + \boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{\alpha} + (\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\gamma})$
3. 零向量单位元：$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{0} + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$（其中$\boldsymbol{0}$为同型的$n$维零向量）
4. 负向量逆元：$\boldsymbol{\alpha} + (-\boldsymbol{\alpha}) = (-\boldsymbol{\alpha}) + \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$（其中$\boldsymbol{0}$为同型的$n$维零向量）
5. 数乘单位元：$1 \cdot \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha}$
6. 数乘结合律：$(kl)\boldsymbol{\alpha} = k(l\boldsymbol{\alpha}) = l(k\boldsymbol{\alpha})$
7. 数乘对向量加法的分配律：$k(\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta}) = k\boldsymbol{\alpha} + k\boldsymbol{\beta}$
8. 数乘对数加法的分配律：$(k + l)\boldsymbol{\alpha} = k\boldsymbol{\alpha} + l\boldsymbol{\alpha}$

结论

(i) 移项规则：

$$\boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} \iff \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\beta} \iff \boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{\gamma} - \boldsymbol{\alpha}$$

(ii) 零向量判定：

$$k\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0} \iff k = 0 \text{ 或 } \boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{0}$$

（其中$k$为实数，$\boldsymbol{\alpha}$为向量）

向量的线性组合和线性表出(线性表示)

线性组合：设有 $m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$，以及 $m$ 个数 $k_1,k_2,\dots,k_m$，则向量

$$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$$

称为向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 的一个线性组合，其中 $k_1,k_2,\dots,k_m$ 称为这个线性组合的系数。
线性表出：若向量 $\boldsymbol{\beta}$ 能表示成 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 的线性组合，即：

$$\boldsymbol{\beta} = k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m$$

则称 $\boldsymbol{\beta}$ 能由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表出。

向量表示与方程组解的对应关系

$\beta$ 可由 $\alpha_1, \dots, \alpha_s$ 表示 $\iff$ 方程组 $Ax=\beta$

向量的表示情况	对应的方程组解的情况
可以表示	有解
不可以表示	无解
可以唯一地表示	唯一解
可以表示，但不唯一	无穷多的解

线性组合的性质

1. 零向量是任意向量组的线性组合。
2. 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 中任一向量 $\alpha_j (1 \le j \le n)$，均可由本向量组线性表示。
   • e.g. $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，则 $\alpha_2 = 0\alpha_1 + 1\alpha_2 + 0\alpha_3$（显然）
3. 任何一个 $n$ 维向量 $\alpha=(a_1, a_2, \dots, a_n)$ 都可由 $n$ 个 $n$ 维基本单位向量组 $\varepsilon_1=(1,0,0,\dots,0), \varepsilon_2=(0,1,0,\dots,0), \dots, \varepsilon_n=(0,\dots,0,1)$ 线性表示，且表示法唯一。
   • 即有：

   $$\alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \dots + a_n\varepsilon_n$$

   （组合系数即为 $\alpha$ 的分量）

向量组的线性相关性（相关，无关）

定义 3.7： 给定向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，如果存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使

$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_n\alpha_n = 0$$

则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性相关，而称 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 为一组相关系数。否则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关。

线性无关的等价

$m$ 个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关，下面几种表述等价：

1. 对任意不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_m$，均有

   $$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m \neq \boldsymbol{0}.$$

2. 当且仅当 $k_1 = k_2 = \dots = k_m = 0$ 时才有

   $$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}$$

   成立。
3. 不存在不全为零的数 $k_1,k_2,\dots,k_m$，使得

   $$k_1\boldsymbol{\alpha}_1 + k_2\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + k_m\boldsymbol{\alpha}_m = \boldsymbol{0}$$

   成立。
   向量组 $\boldsymbol{\varepsilon}_1 = (1,0,\dots,0),\ \boldsymbol{\varepsilon}_2 = (0,1,0,\dots,0),\ \dots,\ \boldsymbol{\varepsilon}_n = (0,0,\dots,0,1)$ 是线性无关的；单个向量是非零向量时，是线性无关的；两个向量不成比例时，是线性无关的。

推论

1. 显然含有零向量，或相等向量或成比例向量的向量组是线性相关的；单个向量时，零向量是线性相关的。
2. 两个非零向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 线性相关 $\iff$ $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 的分量对应成比例。
3. 如果向量组中有一部分向量（称为部分组）线性相关，则该向量组线性相关。
4. 若向量组线性无关，则其任一部分组也线性无关。
5. 含有零向量的向量组必线性相关。
6. $n$ 维初始单位向量组必线性无关
7. 设 $r$ 维向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 线性无关，$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 的 $r+l$ 维接长向量，则 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 线性无关。
8. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 是 $r$ 维向量，$\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 是其 $r+l$ 维接长向量，若 $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_m$ 线性相关，则 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$ 也线性相关。
9. 若向量组中有两个向量成比例，则向量组必线性相关。

向量组线性相关、线性无关的判定

定理 3.1：向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 线性表出

$$\iff \exists \text{ 实数 } k_1,k_2,\dots,k_m \text{ 使 } k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \dots + k_m\alpha_m = \beta$$

$$\iff \text{ 方程组 } [\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m] \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} = \beta \text{ 有解}$$

$$\iff \text{ 秩 } r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m) = r(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m,\beta)$$

定理 3.2：向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$（$\alpha_j = (a_{1j},a_{2j},\dots,a_{nj})^T, j=1,2,\dots,m$）线性相关

$$\iff \text{ 以 } \alpha_j \text{ 为列向量的齐次线性方程组 } x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \dots + x_m\alpha_m = 0$$

即

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1m}x_m = 0, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2m}x_m = 0, \\ \quad \dots \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nm}x_m = 0 \end{cases}$$

有非零解。
推论 1：$n$ 个 $n$ 维向量 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$ 线性相关 $\iff$ 行列式 $|\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n| = 0$。
推论 2：任何 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关。

定理 3.3：

• 任何部分组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$ 相关 $\Rightarrow$ 整体组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s$ 相关。
• 整体组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s$ 无关 $\Rightarrow$ 任何部分组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$ 无关。
  （反之都不成立）

部分组与整体组的定义

设 $s \ge r$，称 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r$ 是 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s$ 的部分组，$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_r,\dots,\alpha_s$ 是整体组。

定理 3.4：延伸组与缩短组的相关性

• $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 线性无关 $\Rightarrow$ 延伸组 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m$ 线性无关；
• $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m$ 线性相关 $\Rightarrow$ 缩短组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 线性相关。
  （反之均不成立）

延伸组和缩短组的定义

设 $s \ge r$，向量组

$$\alpha_1 = [a_{11},a_{21},\dots,a_{r1}]^T,\ \alpha_2 = [a_{12},a_{22},\dots,a_{r2}]^T,\ \dots,\ \alpha_m = [a_{1m},a_{2m},\dots,a_{rm}]^T$$

及

$$\tilde{\alpha}_1 = [a_{11},a_{21},\dots,a_{r1},\dots,a_{s1}]^T,\ \tilde{\alpha}_2 = [a_{12},a_{22},\dots,a_{r2},\dots,a_{s2}]^T,\ \dots,\ \tilde{\alpha}_m = [a_{1m},a_{2m},\dots,a_{rm},\dots,a_{sm}]^T$$

则称 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m$ 为向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 的延伸组（或称 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m$ 是 $\tilde{\alpha}_1,\tilde{\alpha}_2,\dots,\tilde{\alpha}_m$ 的缩短组）。

定理 3.5：向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$（$s \ge 2$）线性相关 $\iff$ 至少有一个向量 $\alpha_i$ 可以由其余向量线性表出。

定理 3.6：若向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性无关，而向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$ 线性表出，且表出法唯一。

定理 3.7：设有两个向量组（Ⅰ）$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$；（Ⅱ）$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$。

1. 若 $\beta_i\ (i=1,2,\dots,t)$ 均可由（Ⅰ）线性表出，且 $t > s$，则（Ⅱ）$\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 线性相关。
2. 若 $\beta_i\ (i=1,2,\dots,t)$ 均可由（Ⅰ）线性表出，且 $\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_t$ 线性无关，则 $t \le s$。

总结

多数的向量可由少数的向量表示，那多数向量一定是线性相关的
推论：
若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组线性相关。
若向量组（Ⅰ）、（Ⅱ）均线性无关，且（Ⅰ）与（Ⅱ）可相互线性表示，则 $r = s$。