二元函数的极限与连续性

一元函数与二元函数的区别

• 一元函数：函数只依赖于一个自变量，其定义域是数轴上点的集合。

• 二元函数：函数依赖于两个自变量，其定义域是平面上点的集合，比如可以用来表示位置（经度、纬度）等涉及两个变量的情况。

二元函数定义

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y) \in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z = f(x,y)$。其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量。函数值$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数$z = f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面。

一、常微分方程的基本概念

1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数或微分与自变量的方程称为微分方程，简称方程，$n$ 阶微分方程的一般形式：$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}) = 0$。

2. 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

3. 微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解。

4. 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。

5. 微分方程的特解：微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。

6. 初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。

7. 积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

一、定积分的定义

设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义且有界。

微分中值定理

费马引理

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极值，那么 $f'(x_0) = 0$。

定义：设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集。如果对于每个数 $x \in D$，按照一定的法则总有一个确定的数值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为$y = f(x), x \in D$

导数

定义：设函数$y = f(x)$在$x_0$的某邻域内有定义，如果极限$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，并称此极限值为$f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$，或$y'|_{x = x_0}$，或$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$。如果上述极限不存在，则称$f(x)$在点$x_0$处不可导。

数列的极限

定义：如果对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n - a| < \varepsilon$ 成立，则称常数 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 当 $n$ 趋于无穷时的极限，记为 $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = a$。

一、不定积分的性质

1. $(\int f(x)dx)' = f(x),$ $d\int f(x)dx = f(x)dx$

2. $\int f'(x)dx = f(x) + C,$ $d\int f(x) = f(x) + C$

3. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

4. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$（$k$为常数 ）