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第三章-导数与微分

reallylearning2025/8/31大约 15 分钟考研数学高数高等数学

导数

定义：设函数y=f(x)y = f(x)在x0x_0的某邻域内有定义，如果极限lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}存在，则称f(x)f(x)在点x0x_0处可导，并称此极限值为f(x)f(x)在点x0x_0处的导数，记为f′(x0)f'(x_0)，或y′∣x=x0y'|_{x = x_0}，或dydx∣x=x0\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}。如果上述极限不存在，则称f(x)f(x)在点x0x_0处不可导。

【注】常用的导数定义的等价形式：f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}，f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}。

定义（左导数）：设函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0及其某个左邻域内有定义，若左极限lim⁡Δx→0−ΔyΔx=lim⁡Δx→0−f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}存在时，则称该极限值为f(x)f(x)在点x0x_0处的左导数，记为f−′(x0)f'_-(x_0)。

定义（右导数）：设函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0及其某个右邻域内有定义，若右极限lim⁡Δx→0+ΔyΔx=lim⁡Δx→0+f(x0+Δx)−f(x0)Δx=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}存在时，则称该极限值为f(x)f(x)在点x0x_0处的右导数，记为f+′(x0)f'_+(x_0)。

导数与左右导数的关系，类比于函数极限与函数左右极限的关系。

定理:

  • 函数f(x)f(x)在点x0x_0处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

  • 函数f(x)f(x)在点x0x_0处可导的必要条件是：f(x)f(x)在点x0x_0处连续（即lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)）

定义（区间上可导及导函数）：如果y=f(x)y = f(x)在开区间(a,b)(a,b)内每一点都可导，则称f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)内可导。此时对于(a,b)(a,b)内的每一点xx，都对应一个导数值f′(x)f'(x)，常称f′(x)f'(x)为f(x)f(x)在(a,b)(a,b)内的导函数，简称为导数。若f(x)f(x)在区间(a,b)(a,b)内可导，且f+′(a)f'_+(a)和f−′(b)f'_-(b)都存在，则称f(x)f(x)在区间[a,b][a,b]上可导。

  • 导数的左极限：lim⁡x→x0−f′(x)=f−′(x0)=f′(x0−0)\lim\limits_{x \to x_0^-} f'(x) = f'_-(x_0) = f'(x_0 - 0)

  • 导数的右极限：lim⁡x→x0+f′(x)=f+′(x0)=f′(x0+0)\lim\limits_{x \to x_0^+} f'(x) = f'_+(x_0) = f'(x_0 + 0)

导数的左 / 右极限求法：先求导函数；再求导函数在该点的左 / 右极限。

分段函数在分段点的导数一定要用定义来求解！！！可能不可导

导函数的左右极限与左导数、右导数无必然联系

证明:探讨极限lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0−bh)ch\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}（c≠0c \neq 0）存在时，是否能推出f(x)f(x)在x0x_0处可导。

若lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=a\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = a存在，则f′(x0)=af'(x_0) = a。由此衍生出：

  • lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0)ah=f′(x0)\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} = f'(x_0)（令Δx=ah\Delta x = ah）；

  • lim⁡h→0f(x0)−f(x0−bh)bh=f′(x0)\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh} = f'(x_0)（令Δx=−bh\Delta x = -bh）。

错误推导分析

若直接将lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0−bh)ch\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}拆分为：aclim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0)ah+bclim⁡h→0f(x0)−f(x0−bh)bh\frac{a}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0)}{ah} + \frac{b}{c}\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0) - f(x_0 - bh)}{bh}.

进而得到a+bcf′(x0)\frac{a + b}{c}f'(x_0)存在，就断言f(x)f(x)在x0x_0处可导，这种推导是错误的。因为拆分后两个单独的极限不一定存在，仅整体极限存在不能保证部分极限存在。

反例验证（以f(x)=∣x∣f(x) = |x|为例）

取a=b=c=1a = b = c = 1，x0=0x_0 = 0，计算：lim⁡h→0f(0+h)−f(0−h)h=lim⁡h→0∣h∣−∣−h∣h=lim⁡h→00h=0\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0 - h)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{|h| - |-h|}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0

此极限存在，但f(x)=∣x∣f(x) = |x|在x=0x = 0处不可导（左导数为−1-1，右导数为11，左右导数不相等）。这表明：即使lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0−bh)ch\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}存在，也不能推出f(x)f(x)在x0x_0处可导。

结论：极限lim⁡h→0f(x0+ah)−f(x0−bh)ch\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ah) - f(x_0 - bh)}{ch}存在，不能推出f(x)f(x)在x0x_0处可导，核心原因是拆分后的两个极限（对应左、右导数相关的极限）不一定存在。

微分

  • 定义（微分）：设函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0的某一邻域内有定义，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)可以表示为Δy=AΔx+o(Δx)\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)（Δx→0\Delta x \to 0），其中AA为不依赖于Δx\Delta x的常数，则称函数f(x)f(x)在点x0x_0处可微，称AΔxA\Delta x为函数f(x)f(x)在点x0x_0处相应于自变量增量Δx\Delta x的微分，记为dy=AΔxdy = A\Delta x。

  • 定理：函数y=f(x)y = f(x)在点x0x_0处可微的充分必要条件是f(x)f(x)在点x0x_0处可导，且有dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dxdy = f'(x_0)\Delta x = f'(x_0)dx。在点xx处，常记dy=f′(x)dxdy = f'(x)dx。

导数与微分的几何意义

  1. 导数的几何意义：

  • 导数f′(x0)f'(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处切线的斜率。

  • 如果函数f(x)f(x)在点x0x_0处可导，则曲线y=f(x)y = f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处必有切线，其切线方程为y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)。

  • 如果f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0，则此曲线y=f(x)y = f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处的法线方程为y−f(x0)=−1f′(x0)(x−x0)y - f(x_0) = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)。

  • 如果f′(x0)=0f'(x_0) = 0，则曲线y=f(x)y = f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处的切线方程为y=f(x0)y = f(x_0)，即曲线在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处有水平切线。

  • 【注】 若函数f(x)f(x)在x=x0x = x_0处可导，则曲线y=f(x)y = f(x)在点(x0,f(x0))(x_0,f(x_0))处有切线，反之则不然。例如曲线y=x13y = x^{\frac{1}{3}}在点(0,0)(0,0)处有切线x=0x = 0（yy轴），但函数f(x)=x13f(x) = x^{\frac{1}{3}}在x=0x = 0处不可导（f′(0)=∞f'(0) = \infty）。

  1. 微分的几何意义：

  • 微分dy=f′(x0)dxdy = f'(x_0)dx在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)的切线上的增量。

  • Δy=f(x0+Δx)−f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)在几何上表示曲线y=f(x)y = f(x)上的增量，且Δy≈dy\Delta y \approx dy。

连续、可导、可微之间的关系

连续可导可微关系
连续可导可微关系

函数可导与可微是等价的；可导（可微）能推出函数连续，但连续不能推出可导（可微）。

若f(x)f(x)在x0x_0的某领域可导，不能推出f′(x)f'(x)在x0x_0处连续和lim⁡x→x0f′(x)\lim \limits_{x\to x_0}f'(x)存在。

证明：函数f(x)={x2sin⁡1x,x≠00,x=0f(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x = 0\end{cases}在x=0x = 0处可导，但lim⁡x→0f′(x)\lim \limits_{x \to 0} f'(x)不存在：

解：当x≠0x\neq0时，f′(x)=2xsin⁡1x−cos⁡1xf'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}；当x=0x = 0时，f′(0)=lim⁡x→0x2sin⁡1xx=0f'(0)=\lim \limits_{x \to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=0。

​ lim⁡x→0f′(x)=lim⁡x→0(2xsin⁡1x−cos⁡1x)\lim \limits_{x \to 0} f'(x)=\lim \limits_{x \to 0}(2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x})，无穷小X有界-有界=极限不存在。

二阶可导不保证二阶导数连续或有极限。

总结：若f(x)nf(x)n阶可导，洛必达法则可对fn−1(x)f^{n - 1}(x),若f(x)nf(x)n阶连续可导，洛必达法则可对fn(x)f^{n}(x)使用。

证明可导→\to可微：

条件：f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}。

结论：f(x0+Δx)−f(x0)=AΔx+o(Δx)f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x + o(\Delta x)（其中A=f′(x0)A = f'(x_0)，o(Δx)o(\Delta x)是Δx\Delta x的高阶无穷小）。

​ 因为lim⁡f(x)=A⇔lim⁡f(x)=A+α\lim f(x)=A \Leftrightarrow \lim f(x)=A + \alpha（α\alpha为无穷小）

​ 所以f(x0+Δx)−f(x0)Δx=f′(x0)+α\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha（α\alpha为无穷小）。

​ 进而f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)Δx+α⋅Δxf(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+\alpha\cdot\Delta x，又因为α⋅ΔxΔx=α\frac{\alpha\cdot\Delta x}{\Delta x}=\alpha（α\alpha为无穷小），

​ 所以f(x0+Δx)−f(x0)=A⋅Δx+o(Δx)f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\cdot\Delta x + o(\Delta x) （A=f′(x0)A = f'(x_0)）。

导数公式及求导法则

1. 基本初等函数的导数公式

  1. (C)′=0(C)' = 0

  2. (xα)′=αxα−1(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}

  3. (ax)′=axln⁡a(a^{x})' = a^{x}\ln a

  4. (ex)′=ex(e^{x})' = e^{x}

  5. (log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_{a}x)' = \frac{1}{x\ln a}

  6. (ln⁡∣x∣)′=1x(\ln |x|)' = \frac{1}{x}

  7. (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x

  8. (cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

  9. (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^{2}x

  10. (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^{2}x

  11. (sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)' = \sec x\tan x

  12. (csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)' = -\csc x\cot x

  13. (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

  14. (arccos⁡x)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

  15. (arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^{2}}

  16. (arccot x)′=−11+x2(\text{arccot }x)' = -\frac{1}{1 + x^{2}}

  17. ([ln⁡(x+x2+1)]′=1x2+1\left[\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right]^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}

  18. [ln⁡(1+x2)]′=x1+x2\left[\ln \left(\sqrt{1+x^{2}}\right)\right]^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}}

2. 求导法则（别忘了后面要加上dxdx）

(1) 有理运算法则

设 u=u(x)u = u(x)，v=v(x)v = v(x) 在 xx 处可导，则：

  • (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'

  • (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'

  • (uv)′=u′v−uv′v2 (v≠0)\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}} \ (v \neq 0)

(2) 复合函数求导法

设 u=φ(x)u = \varphi(x) 在 xx 处可导，y=f(u)y = f(u) 在对应点处可导，则复合函数 y=f[φ(x)]y = f[\varphi(x)] 在 xx 处可导，且 dydx=dydu⋅dudx=f′(u)φ′(x)\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u)\varphi'(x)。

利用指数与对数的关系 a=eln⁡aa = e^{\ln a}，对幂指函数 u(x)v(x)u(x)^{v(x)} 进行变形：

u(x)v(x)=eln⁡(u(x)v(x))=ev(x)⋅ln⁡u(x)u(x)^{v(x)} = e^{\ln\left(u(x)^{v(x)}\right)} = e^{v(x) \cdot \ln u(x)}

这样就将幂指函数转化为以 ee 为底的指数函数，后续可通过链式法则求导。

示例：y=xaxy = x^{a^x}（aa 为常数）

求导步骤：

将 xaxx^{a^x} 转化为以 ee 为底的指数函数：xax=eln⁡(xax)=eax⋅ln⁡xx^{a^x} = e^{\ln\left(x^{a^x}\right)} = e^{a^x \cdot \ln x}。

设 t=ax⋅ln⁡xt = a^x \cdot \ln x，则 y=ety = e^t。根据链式法则 y′=yt′⋅tx′y' = y_t' \cdot t_x'：

  • 先对 y=ety = e^t 关于 tt 求导：yt′=ety_t' = e^t。

  • 再对 t=ax⋅ln⁡xt = a^x \cdot \ln x 关于 xx 求导（乘积法则）：

    根据乘积法则 (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'，设 u=axu = a^x，v=ln⁡xv = \ln x，则：

    • u′=ax⋅ln⁡au' = a^x \cdot \ln a（指数函数求导：(ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a）。

    • v′=1xv' = \frac{1}{x}（对数函数求导：(ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}）。

      因此 tx′=ax⋅ln⁡a⋅ln⁡x+ax⋅1xt_x' = a^x \cdot \ln a \cdot \ln x + a^x \cdot \frac{1}{x}。

将 yt′y_t' 和 tx′t_x' 代入链式法则：

y′=et⋅(ax⋅ln⁡a⋅ln⁡x+ax⋅1x)y' = e^t \cdot \left( a^x \cdot \ln a \cdot \ln x + a^x \cdot \frac{1}{x} \right)

再将 t=ax⋅ln⁡xt = a^x \cdot \ln x（即 et=xaxe^t = x^{a^x}）代回，得到最终导数：

(xax)′=xax⋅(axln⁡a⋅ln⁡x+axx)\left( x^{a^x} \right)' = x^{a^x} \cdot \left( a^x \ln a \cdot \ln x + \frac{a^x}{x} \right)

(3) 隐函数求导法

隐函数定义：隐函数中，yy 与 xx 的关系隐含在一个等式 F(x,y)=0F(x,y) = 0 中。

例如：x2+y2=4x^2 + y^2 = 4，可变形为 x2+y2−4=0x^2 + y^2 - 4 = 0。

显函数则是因变量、自变量分别在等式两端，yy 和 xx 各占一边，比如 y=3xy = 3x。

求导法则

把 yy 看作与 xx 相关的量，即 y=y(x)y = y(x)，等式两端同时对 xx 求导。

  • 若 yy 对 xx 求导，结果为 y′(x)y'(x)；

  • 若 y2y^2 对 xx 求导，根据复合函数求导法则，结果为 2y(x)⋅y′(x)2y(x) \cdot y'(x)；

  • 若 ln⁡y\ln y 对 xx 求导，结果为 1y(x)⋅y′(x)\frac{1}{y(x)} \cdot y'(x)。

以 x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 为例，对 xx 求导：

根据求导法则，x2x^2 对 xx 求导得 2x2x，y2y^2 对 xx 求导得 2y⋅y′2y \cdot y'，等式右边 44 对 xx 求导得 00，所以有 2x+2y⋅y′=02x + 2y \cdot y' = 0。

技巧：取对数简化计算，一般应用于指数函数中。

例题1：aearctan⁡yx=x2+y2a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2}（a>0a>0）求 y′y' 。

利用对数运算性质：

  • ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab) = \ln a + \ln b

  • ln⁡(ab)=bln⁡a\ln(a^b) = b\ln a

  • ln⁡eu=u\ln e^u = u（因为 ln⁡\ln 与 ee 互为反函数）

对原式 aearctan⁡yx=x2+y2a e^{\arctan\frac{y}{x}} = \sqrt{x^2 + y^2} 两边取自然对数：

ln⁡(aearctan⁡yx)=ln⁡(x2+y2)\ln\left(a e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)

ln⁡a+ln⁡(earctan⁡yx)=ln⁡((x2+y2)12)\ln a + \ln\left(e^{\arctan\frac{y}{x}}\right) = \ln\left((x^2 + y^2)^{\frac{1}{2}}\right)

ln⁡a+arctan⁡yx=12ln⁡(x2+y2)\ln a + \arctan\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)

对等式两边关于 xx 求导：(arctan⁡yx)′=11+(yx)2⋅(yx)′\left(\arctan\frac{y}{x}\right)' = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)'，(12ln⁡(x2+y2))′=12⋅1x2+y2⋅(x2+y2)′\left(\frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2)\right)' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (x^2 + y^2)'。

11+(yx)2⋅xy′−yx2=12⋅1x2+y2⋅(2x+2y⋅y′)\frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{xy' - y}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot (2x + 2y \cdot y')

xy′−yx2+y2=x+y⋅y′x2+y2\frac{xy' - y}{x^2 + y^2} = \frac{x + y \cdot y'}{x^2 + y^2}

y′=x+yx−yy' = \frac{x + y}{x - y}。

例题2：已知f(u)f(u)有二阶导数，且f′(0)=1f'(0) = 1，由y−xey−1=1y - x e^{y - 1} = 1确定y=y(x)y = y(x)，设z=f(ln⁡y−sin⁡x)z = f(\ln y - \sin x)，求dzdx∣x=0\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}和d2zdx2∣x=0\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}。

步骤 1：求dzdx∣x=0\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}

（1）求x=0x = 0时yy的值

将x=0x = 0代入y−xey−1=1y - x e^{y - 1} = 1，可得y−0=1y - 0 = 1，即y=1y = 1。

（2）对z=f(ln⁡y−sin⁡x)z = f(\ln y - \sin x)求一阶导数

根据复合函数求导法则，dzdx=f′(ln⁡y−sin⁡x)⋅(ln⁡y−sin⁡x)′\frac{dz}{dx} = f'(\ln y - \sin x) \cdot (\ln y - \sin x)'。

对ln⁡y−sin⁡x\ln y - \sin x求导，(ln⁡y)′=1y⋅y′(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'，(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x，所以(ln⁡y−sin⁡x)′=y′y−cos⁡x(\ln y - \sin x)' = \frac{y'}{y} - \cos x。

因此，dzdx=f′(ln⁡y−sin⁡x)⋅(y′y−cos⁡x)\frac{dz}{dx} = f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right)。

（3）求y′∣x=0y' \big|_{x = 0}

对y−xey−1=1y - x e^{y - 1} = 1两边关于xx求导：y′−ey−1−xey−1⋅y′=0y' - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y' = 0。

将x=0x = 0，y=1y = 1代入上式，得y′−e0−0=0y' - e^{0} - 0 = 0，即y′=1y' = 1，所以y′∣x=0=1y' \big|_{x = 0} = 1。

（4）计算dzdx∣x=0\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0}

将x=0x = 0，y=1y = 1，y′∣x=0=1y' \big|_{x = 0} = 1代入dzdx\frac{dz}{dx}的表达式：dzdx∣x=0=f′(ln⁡1−sin⁡0)⋅(11−cos⁡0)=f′(0)⋅(1−1)=0\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = f'(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right) = f'(0) \cdot (1 - 1) = 0。

步骤 2：求d2zdx2∣x=0\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}

（1）对dzdx\frac{dz}{dx}求二阶导数

d2zdx2=ddx(f′(ln⁡y−sin⁡x)⋅(y′y−cos⁡x))\frac{d^2z}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left( f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right) \right)

根据乘积法则和复合函数求导法则：

d2zdx2=f′′(ln⁡y−sin⁡x)⋅(y′y−cos⁡x)2+f′(ln⁡y−sin⁡x)⋅(y′′⋅y−(y′)2y2+sin⁡x)\frac{d^2z}{dx^2} = f''(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'}{y} - \cos x \right)^2 + f'(\ln y - \sin x) \cdot \left( \frac{y'' \cdot y - (y')^2}{y^2} + \sin x \right)

（2）求y′′∣x=0y'' \big|_{x = 0}

对y′−ey−1−xey−1⋅y′=0y' - e^{y - 1} - x e^{y - 1} \cdot y' = 0两边关于xx求导：y′′−ey−1⋅y′−ey−1⋅y′−x(ey−1⋅(y′)2+ey−1⋅y′′)=0y'' - e^{y - 1} \cdot y' - e^{y - 1} \cdot y' - x \left( e^{y - 1} \cdot (y')^2 + e^{y - 1} \cdot y'' \right) = 0。

将x=0x = 0，y=1y = 1，y′=1y' = 1代入上式，得y′′−1−1−0=0y'' - 1 - 1 - 0 = 0，即y′′=2y'' = 2，所以y′′∣x=0=2y'' \big|_{x = 0} = 2。

（3）计算d2zdx2∣x=0\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0}

将x=0x = 0，y=1y = 1，y′=1y' = 1，y′′=2y'' = 2代入d2zdx2\frac{d^2z}{dx^2}的表达式：

d2zdx2∣x=0=f′′(ln⁡1−sin⁡0)⋅(11−cos⁡0)2+f′(ln⁡1−sin⁡0)⋅(2⋅1−1212+sin⁡0)=f′′(0)⋅02+f′(0)⋅(1+0)=0+1⋅1=1\begin{align*} \frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} &= f''(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{1}{1} - \cos 0 \right)^2 + f'(\ln 1 - \sin 0) \cdot \left( \frac{2 \cdot 1 - 1^2}{1^2} + \sin 0 \right) \\ &= f''(0) \cdot 0^2 + f'(0) \cdot (1 + 0) \\ &= 0 + 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{align*}

综上，dzdx∣x=0=0\frac{dz}{dx}\big|_{x = 0} = 0，d2zdx2∣x=0=1\frac{d^2z}{dx^2}\big|_{x = 0} = 1。

(4) 反函数求导法

反函数定义：若有函数关系{f(x)=yg(y)=x\begin{cases} f(x) = y \\ g(y) = x \end{cases}，则f(g(y))=f(x)=yf(g(y)) = f(x) = y，且满足f(g(x))=xf(g(x)) = x，此时gg是ff的反函数，ff也是gg的反函数。

导数公式：若y=f(x)y = f(x)在x0x_0的某邻域内连续且严格单调，y=f(x)y = f(x)在x0x_0可导且f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0，则其反函数x=φ(y)x = \varphi(y)在y0=f(x0)y_0 = f(x_0)点可导，且有：φ′(y0)=1f′(x0)\varphi'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}，也可表示为[f−1(y)]′=1f′(x)[f^{-1}(y)]' = \frac{1}{f'(x)}或dxdy=1dydx\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}。

反函数的导数等于原函数导数的倒数。

例题： 求y=cot⁡xy = \cot x（x∈(−π2,π2)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)）反函数的导数

y=cot⁡xy = \cot x（x∈(−π2,π2)x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)）的反函数为 x=φ(y)=arccot yx = \varphi(y) = \text{arccot } y。

根据反函数导数公式：若y=f(x)y = f(x)的反函数为x=φ(y)x = \varphi(y)，则φ′(y)=1f′(x)\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}。

已知(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x，又因为三角恒等式csc⁡2x=cot⁡2x+1\csc^2 x = \cot^2 x + 1，且y=cot⁡xy = \cot x，所以csc⁡2x=y2+1\csc^2 x = y^2 + 1，则(cot⁡x)′=−(y2+1)(\cot x)' = - (y^2 + 1)。

将f′(x)=−(y2+1)f'(x) = - (y^2 + 1)代入反函数求导公式，可得：φ′(y)=1f′(x)=1−(y2+1)=−1y2+1\varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{- (y^2 + 1)} = -\frac{1}{y^2 + 1}，即(arccot y)′=−1y2+1(\text{arccot } y)' = -\frac{1}{y^2 + 1}。

补充三角函数导数与恒等式（辅助公式）

  • (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x，csc⁡2x=cot⁡2x+1\csc^2 x = \cot^2 x + 1；

  • (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x，sec⁡2x=tan⁡2x+1\sec^2 x = \tan^2 x + 1；

  • sec⁡x=1cos⁡x\sec x = \frac{1}{\cos x}，csc⁡x=1sin⁡x\csc x = \frac{1}{\sin x}。

(5) 参数方程求导法

设 y=y(x)y = y(x) 是由参数方程 {x=φ(t)y=ψ(t)\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}（α<t<β\alpha < t < \beta）确定的函数，则：

一阶导数：若 φ(t)\varphi(t) 和 ψ(t)\psi(t) 都可导，且 φ′(t)≠0\varphi'(t) \neq 0，则dydx=ψ′(t)φ′(t)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}。

二阶导数若： φ(t)\varphi(t) 和 ψ(t)\psi(t) 二阶可导，且 φ′(t)≠0\varphi'(t) \neq 0，则d2ydx2=ddt(ψ′(t)φ′(t))⋅1φ′(t)=ψ′′(t)φ′(t)−φ′′(t)ψ′(t)φ′3(t)\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right) \cdot \frac{1}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \varphi''(t)\psi'(t)}{\varphi'^3(t)}。

3. 高阶导数

定义（高阶导数）：如果 y′=f′(x)y' = f'(x) 作为 xx 的函数在点 xx 可导，则称 y′y' 的导数为 y=f(x)y = f(x) 的二阶导数，记为 y′′y''，或 f′′(x)f''(x)，或 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}。

一般地，函数 y=f(x)y = f(x) 的 nn 阶导数为 y(n)=[f(n−1)(x)]′y^{(n)} = [f^{(n - 1)}(x)]'，也可记为 f(n)(x)f^{(n)}(x) 或 dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}。即 nn 阶导数就是 n−1n - 1 阶导函数的导数，

f(n)(x0)=lim⁡Δx→0f(n−1)(x0+Δx)−f(n−1)(x0)Δx=lim⁡x→x0f(n−1)(x)−f(n−1)(x0)x−x0.f^{(n)}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f^{(n - 1)}(x_0 + \Delta x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n - 1)}(x) - f^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0}.

【注】：如果函数 f(x)f(x) 在点 xx 处 nn 阶可导，则在点 xx 的某邻域内 f(x)f(x) 必定具有一切低于 nn 阶的导数。

常用的高阶导数公式

  • (sin⁡x)(n)=sin⁡(x+n⋅π2)(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)。

  • sin⁡(n)(ax+b)=ansin⁡(ax+b+n⋅π2)\sin^{(n)}(ax + b) = a^n \sin\left(ax + b + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)。

  • (cos⁡x)(n)=cos⁡(x+n⋅π2)(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + n \cdot \frac{\pi}{2}\right)。

  • (u±v)(n)=u(n)±v(n)(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)}。

  • (uv)(n)=∑k=0nCnku(k)v(n−k)(uv)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n - k)}。注意k从0开始

补充：Cnk\mathrm{C}_{n}^{k} 是组合数符号，它表示从 nn 个不同元素中取出 kk 个元素的组合数。

组合数的计算公式为：Cnk=n!k!(n−k)!\mathrm{C}_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}，其中 n!n! 表示 nn 的阶乘，即 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×2×1n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1，并且规定 0!=10! = 1，同时 kk 满足 0≤k≤n0 \leq k \leq n。