微分方程

一、常微分方程的基本概念

1. 微分方程：含有未知函数、未知函数的导数或微分与自变量的方程称为微分方程，简称方程，$n$ 阶微分方程的一般形式：$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)}) = 0$。

2. 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。

3. 微分方程的解：满足微分方程的函数，称为该方程的解。

4. 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称之为微分方程的通解。

5. 微分方程的特解：微分方程的不含任意常数的解，称之为特解。

6. 初始条件：确定特解的一组常数称为初始条件。

7. 积分曲线：方程的一个解在平面上对应一条曲线，称为该微分方程的积分曲线。

• 常微分方程：方程中未知函数为一元函数。

• 偏微分方程：未知函数是多元函数，例如$u = u(x,y)$，方程$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=x + y$就是偏微分方程。

• 线性：未知函数$y$及其各阶导数都是一次的，例如$y' + x^2\cdot y=\sin x$。

• 非线性：未知函数或其导数存在非一次的情况，例如$y'' + x\cdot(y')^2-y = 1$。

二、可分离变量的微分方程

如果一个微分方程 $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ 可以改写成 $g(y)dy=f(x)dx$ 的形式，即等号的一侧只出现一个自变量的形式，那么这种微分方程便是可分离变量的微分方程。

一般而言，如果 $F(x,y)$ 中出现了形如 $\frac{x+y}{x-y}$ 的式子，那这个微分方程很可能是不能分离变量的。

例1：求微分方程 $\frac{\color{blue}{dy}}{\color{red}{dx}}=\color{red}{2x}\color{blue}{y^2}$ 的通解。

解： 这道题等号左侧是 y 的一阶导数，右侧是分别关于 x 和 y 的两个函数相乘，所以我们考虑采用分离变量的方式进行求解。

等式两侧同乘以 $dx/y^2$，可得 $\color{blue}{\frac{dy}{y^2}}=\color{red}{2xdx}$。

两侧同时积分，得 $-\frac{1}{y}+C_1=x^2+C_2$。

为了便于化简，我们将两个常数合并，得 $-\frac{1}{y}=x^2+C$。

以后在做题时，遇到两边同时积分的情况，只需要在一侧加一个任意常数 C 就可以。

整理，便得到方程的通解 $y=-\frac{1}{x^2+C}$。

例 2：求微分方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$的通解

• 当$y \neq 0$时，分离变量得$\frac{dy}{y} = 2x dx$。

• 两端积分：$\int \frac{1}{y} dy = \int 2x dx$，计算得$\ln|y| = x^2 + C_1$（$C_1$为常数）。

• 对等式变形：$|y| = e^{\ln|y|} = e^{x^2 + C_1} = \pm e^{C_1} \cdot e^{x^2}$，令$C = \pm e^{C_1}$（$C$为非零常数），则$y = C e^{x^2}$。

• 当$y = 0$时，代入原方程$\frac{dy}{dx} = 2xy$，等式成立，所以$y = 0$也是方程的解（可包含在$y = C e^{x^2}$中，此时$C = 0$）。

  综上，通解为$y = C e^{x^2}$（$C$为任意常数）。

例 3：求微分方程$y dx + x^2 dy - 4 dy = 0$满足$y\big|_{x = 1} = 2$的特解

• 先整理方程：$y dx = (4 - x^2) dy$。

• 分离变量：$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{4 - x^2}$。

• 两端积分：$\int \frac{1}{y} dy = \int \frac{dx}{4 - x^2}$。

  • 计算$\int \frac{dx}{4 - x^2}$，利用分式分解$\frac{1}{4 - x^2} = \frac{1}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2 - x} + \frac{1}{2 + x}\right)$，积分得$\frac{1}{4}\ln\left|\frac{2 + x}{2 - x}\right| + C_2$（$C_2$为常数）。

  • 所以积分结果为$\ln|y| = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{2 + x}{2 - x}\right| + C_2$。

• 变形化简：两边乘$4$得$4\ln|y| = \ln\left|\frac{2 + x}{2 - x}\right| + 4C_2$，令$\ln C = 4C_2$（$C > 0$），则$\ln|y|^4 = \ln\left[C \cdot \left|\frac{2 + x}{2 - x}\right|\right]$，即$y^4 = C \cdot \frac{2 + x}{2 - x}$（$C$为正常数，可推广到任意非零常数，最终包含$C = 0$情况）。

• 代入初始条件$y\big|_{x = 1} = 2$：$2^4 = C \cdot \frac{2 + 1}{2 - 1}$，即$16 = 3C$，解得$C = \frac{16}{3}$。

  所以特解为$y^4 = \frac{16}{3} \cdot \frac{2 + x}{2 - x}$。

三、齐次微分方程

齐次的含义是指每一项关于 $x$、$y$ 的次数都相等，比如 $(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0$。这种情况下，这个微分方程便是齐次微分方程，式子的每一项都是 n 次项（n 的具体数值看具体情况而定），我们可以在等式两侧同时除以 $x^n$，把式子化为关于 $\frac{y}{x}$ 的表达式，令$u = \frac{y}{x}$（即$y = ux$），对$y = ux$求导，根据乘积法则$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$，进而换元解决。

例 1求微分方程 $y^2+x^2\frac{dy}{dx}=xy\frac{dy}{dx}$。

解： 不难发现，方程的每一项都是二次项，所以这是一个齐次方程。

在等式两侧同时除以 $x^2$，得 $(\frac{y}{x})^2+\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}\cdot\frac{dy}{dx}$。

令 $u=\frac{y}{x}$ 得， $u^2+\frac{dy}{dx}=u\cdot\frac{dy}{dx}$。

整理得\frac{dy}{dx}=\frac{u^2}{u-1}\tag1

注意到左侧是 y 对 x 的导数，但右侧却是关于 u 的函数，无法直接积分求解。

容易发现， $y=ux$，所以 $\frac{dy}{dx}=(ux)'=u'x+ux'=x\frac{du}{dx}+u$。

这样（1）式就变为了 $u+x\frac{du}{dx}=\frac{u^2}{u-1}$。

分离变量得， $(1-\frac{1}{u})du=\frac{1}{x}dx$

解得： $y=Ce^{\frac{y}{x}}$

例2 求微分方程$(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$ 的通解

步骤 1：整理方程为齐次形式

将方程变形为$\frac{dy}{dx}$的形式：

$
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}
$

令$u = \frac{y}{x}$（即$y = ux$），对$y = ux$求导，根据乘积法则$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。

步骤 2：代入化简方程

将$y = ux$和$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$代入$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$，其中$\frac{x}{y} = \frac{1}{u}$，$\frac{y}{x} = u$，得到：

$
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u} + u
$

两边消去$u$，化简为：

$
x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}
$

步骤 3：分离变量并积分

将方程$x\frac{du}{dx} = \frac{1}{u}$分离变量，得到$u du = \frac{dx}{x}$。

对两边分别积分：

• 左边积分：$\int u du = \frac{1}{2}u^2 + C_1$（$C_1$为常数）。

• 右边积分：$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$（$C_2$为常数）。

步骤 4：回代并整理通解

结合积分结果，有$\frac{1}{2}u^2 = \ln|x| + C$（令$C = C_2 - C_1$）。

将$u = \frac{y}{x}$回代，得到：

$
\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^2 = \ln|x| + C
$

两边乘$2$并整理，通解为：

$
y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)
$

最终，微分方程$(x^2 + y^2)dx - xydy = 0$的通解为$\boldsymbol{y^2 = 2x^2(\ln|x| + C)}$（$C$为任意常数）。

四、一阶线性微分方程

这类方程一般形如 $y'+P(x)y=Q(x)$，其中 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 均为多项式函数，线性是指 $y$ 及其各阶导数都是一次的。特别的是，当 $Q(x)\equiv0$ 时，这个方程是齐次的，否则这个方程就是非齐次的。

这里的齐次是指左右两侧 y 及其各阶导数的次数相同

求解齐次一阶线性微分方程时，通常分离变量求解。求解非齐次一阶线性微分方程时，则要先求解对应的齐次方程，再利用常数变易法求解。

1、齐次一阶线性微分方程

当 $Q(x)\equiv0$ 时， $y'+P(x)y=0$ 是原方程对应的齐次方程。我们可以直接分离变量来求解。

分离变量得， $\frac{dy}{y}=-P(x)dx$。两边同时积分，得 $\ln|y|=-\int P(x)dx+C_1$。

即 $y=\pm e^{C_1-\int P(x)dx}=Ce^{-\int P(x)dx}$

2、非齐次一阶线性微分方程

对于非齐次一阶线性微分方程，我们要先求出对应的齐次方程的通解，即 $y=Ce^{-\int P(x)dx}$。

下面要进行常数变易，令 $C=u(x)$。

此时 $y=u(x)e^{-\int P(x)dx}$，则 $\frac{dy}{dx}=u'(x)e^{-\int P(x)dx}-P(x)u(x)e^{-\int P(x)dx}$。

带入原式得 $u'(x)e^{-\int P(x)dx}\color{red}{-P(x)u(x)e^{-\int P(x)dx}+P(x)u(x)e^{-\int P(x)dx}}=Q(x)$

即 $u'(x)e^{-\int P(x)dx}=Q(x)$

解得 $u'(x)=Q(x)e^{\int P(x)dx}$。

积分得 $u(x)=\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C$。

所以方程的解为 $y=u(x)e^{-\int P(x)dx}$。

即 $y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

例 1 求微分方程 $\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^\frac{5}{2}$ 的通解

解： 显然，这个方程是形如 $y'+P(x)y=Q(x)$ 的一阶非齐次线性微分方程，其中 $P(x)=-\frac{2}{x+1}$， $Q(x)=(x+1)^\frac{5}{2}$。

如果是选择、填空题的话，可以直接带入公式得到通解为 $y=e^{-\int -\frac{2}{x+1}dx}(\int (x+1)^\frac{5}{2}e^{\int -\frac{2}{x+1}dx}dx+C)$

进一步计算可得\begin{align} y&=e^{2\ln|x+1|}(\int (x+1)^\frac{5}{2}e^{-2\ln|x+1|}dx+C)\\ &= (x+1)^{2}(\int (x+1)^\frac{5}{2}(x+1)^{-2}dx+C)\\ &= (x+1)^{2}(\int (x+1)^\frac{1}{2}dx+C)\\ &= (x+1)^{2}[\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}+C]\\ \end{align}

这是选择、填空题的方法。但如果是解答题的话，就要按步骤来解了。

第一步： 写出对应齐次方程 $\frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=0$。

第二步： 求解对应齐次方程。分离变量得， $\frac{dy}{y}=\frac{2dx}{x+1}$。

解得， $y=C(x+1)^2$。

第三步： 常数变异。令 $C=u(x)$，则 $y=u(x)(x+1)^2$。

$\frac{dy}{dx}=u'(x)(x+1)^2+2u(x)(x+1)$。

第四步： 带回原式，得 $u'(x)(x+1)^2+2u(x)(x+1)-\frac{2}{x+1}\cdot u(x)(x+1)^2=(x+1)^\frac{5}{2}$。

整理得， $u'(x)=(x+1)^\frac{1}{2}$。

积分求得， $u(x)=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}+C$。

第五步： 得出结果，把 $u(x)$ 带入常数变异后的解，得到

$y=(x+1)^2[\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}+C]$

五、伯努利方程

形如：$y' + p(x)y = q(x)y^n$

解法

1. 等式两边同时除 $y^n$，得到 $y^{-n}y' + y^{1 - n}p(x) = q(x)$。

2. 令 $y^{1 - n} = u$。

3. 对第二步结果求导得：$(1 - n)y^{-n}y' = \frac{du}{dx} \to y^{-n}y' = \frac{u'}{1 - n} = \frac{1}{1 - n}\frac{du}{dx}$。

4. 将步骤 3 结果与步骤 2 结果代入步骤 1：$\frac{1}{1 - n}\frac{du}{dx} + up(x) = q(x)$。

5. 接着依据步骤 4 的情况来选择使用什么通解公式求解。

六、全微分方程

如果方程 $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ 的左端是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分，即 $du(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy$，则称该方程为全微分方程。此方程的通解为 $u(x,y) = C$（$C$ 为任意常数）。

当 $P(x,y)$，$Q(x,y)$ 在单连通域 $G$ 内具有一阶连续偏导数时，方程 $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$ 是全微分方程的充要条件是：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad (x,y) \in G$

注：如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标准形式，首先考虑将 $x,y$ 对调，即认定 $x$ 为 $y$ 的函数，再判定新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解。

解法

1. 线积分法：$\Phi(x, y) = \int_{x_0}^{x} P(x, y)dx + \int_{y_0}^{y} Q(x, y)dy$ 或 $\Phi(x, y) = \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P(x, y)dx + Q(x, y)dy$。
2. 偏积分法：$\frac{\partial \Phi}{\partial x} = P(x, y)$，$\frac{\partial \Phi}{\partial y} = Q(x, y)$，第一个等式对 $x$ 积分得 $\Phi(x, y) = \int P(x, y)dx + \psi(y)$，代入第二个等式求 $\psi(y)$，即可得 $\Phi(x, y)$。
3. 凑微分法：凑微分得 $\Phi(x, y)$。

要使用偏积分法求解微分方程 $xydx + \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y} \right) dy = 0$，步骤如下：

步骤 1：识别全微分方程形式

全微分方程的标准形式为 $P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0$，且满足 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$（恰当条件）。

对于原方程 $xydx + \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y} \right) dy = 0$：

• $P(x,y) = xy$

• $Q(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y}$

验证恰当条件：

• 计算 $\frac{\partial P}{\partial y} = x$

• 计算 $\frac{\partial Q}{\partial x} = x$

由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = x$，因此原方程是全微分方程，存在函数 $u(x,y)$ 使得 $du = Pdx + Qdy$，且 $u(x,y) = C$ 为通解。

步骤 2：偏积分求 $u(x,y)$

全微分方程的解 $u(x,y)$ 满足：

$\frac{\partial u}{\partial x} = P(x,y) = xy, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y}$

对 $x$ 积分 $\frac{\partial u}{\partial x} = xy$

将 $y$ 视为常数，对 $x$ 积分：

$u(x,y) = \int xy \, dx + \varphi(y)$

计算积分 $\int xy \, dx$（$y$ 为常数）：

$\int xy \, dx = y \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = \frac{x^2 y}{2} + C_1$

因此，$u(x,y)$ 可表示为：

$u(x,y) = \frac{x^2 y}{2} + \varphi(y)$

（其中 $\varphi(y)$ 是关于 $y$ 的待定函数）

对 $y$ 求偏导，代入 $\frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y)$

对 $u(x,y) = \frac{x^2 y}{2} + \varphi(y)$ 关于 $y$ 求偏导：

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{x^2}{2} + \varphi'(y)$

根据全微分方程的定义，$\frac{\partial u}{\partial y} = Q(x,y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y}$，因此：

$\frac{x^2}{2} + \varphi'(y) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y}$

消去 $\frac{x^2}{2}$ 后，得：

$\varphi'(y) = \frac{1}{y}$

求解 $\varphi(y)$

对 $\varphi'(y) = \frac{1}{y}$ 关于 $y$ 积分：

$\varphi(y) = \int \frac{1}{y} \, dy + C_2 = \ln|y| + C_2$

步骤 3：整理得到通解

将 $\varphi(y) = \ln|y| + C_2$ 代入 $u(x,y) = \frac{x^2 y}{2} + \varphi(y)$，得：

$u(x,y) = \frac{x^2 y}{2} + \ln|y| + C_2$

由于全微分方程的通解为 $u(x,y) = C$（$C$ 为任意常数），合并常数 $C = C - C_2$（新的任意常数），最终通解为：

$\frac{x^2 y}{2} + \ln|y| = C$

所以，微分方程 $xydx + \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{y} \right) dy = 0$ 的通解为：$\boxed{\frac{x^2 y}{2} + \ln|y| = C}$

七、可降阶的高阶微分方程

1、 $y^{(n)}=f(x)$ 型

这类高阶微分方程左侧只有 y 对 x 的导数，右侧只有关于 x 的函数，因此可以通过左右两侧同时积分来进行降阶，直到左侧降为 $y$。

例 1 求微分方程 $y'''=e^{2x}-\cos x$ 的通解。

解： 等式两侧同时积分，得 $y''=\frac{1}{2}e^{2x}-\sin x+C$

再积分一次， $y'=\frac{1}{4}e^{2x}+\cos x+Cx+C_2$

继续积分， $y=\frac{1}{8}e^{2x}+\sin x+C_1x^2+C_2x+C_3$

2、 $y''=f(x,y')$ 型（不显含 y 型）

由于 $y''$ 与 $y'$ 都是对 x 的导数，我们不妨利用换元法来隐式包含二阶导数（即让二阶方程看起来像一阶方程）。

通常是令 $p=y',y''=p'$，把原方程化为 $p'=f(p,x)$，然后按照一阶方程的方法求解。

例 1 求微分方程 $(1+x^2)y''=2xy'$ 的通解。

解： 令 $y'=p$，则 $y''=p'$，所以原式化为 $(1+x^2)p'=2xp$。

分离变量得， $\frac{dp}{p}=\frac{2x}{1+x^2}dx$。

两边同时积分得， $\ln|p|=\ln|x^2+1|+C$。

所以， $y'=p=C_1(x^2+1)$。

积分得， $y=C_1(\frac{1}{3}x^3+x+C_2)$。

3、 $y''=f(y,y')$ 型（不显含 x 型）

方程中的导数都是对 x 求导，但方程组却不含有 x，不便于积分。所以我们考虑通过换元和链式法则将对 x 的导数转换为对 y 的导数，以便求解。一般是令 $y'=p$，根据链式法则可知， $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\color{red}{p\frac{dp}{dy}}$。

例 1 求微分方程 $yy''-(y')^2=0$ 的通解.

解： 令 $y'=p,y''=p\frac{dp}{dy}$，原式化为 $yp\frac{dp}{dy}-p^2=0$。

当 $p\neq0$ 时，等式两侧同除以 p 得， $y\frac{dp}{dy}-p=0$。

分离变量得， $\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}$。

两边同时积分得， $\ln |p|=\ln|y|+C$。

解得， $y'=p=C_1y$。

解这个一阶方程得 $y=C_2e^{C_1x}$

八、高阶线性微分方程

1、线性微分方程的解的结构

这里只讨论二阶线性微分方程，其结论可以推广到更高阶的方程。二阶线性微分方程的一般形式为：$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$

这里的 $p(x), q(x), f(x)$ 均为连续函数。当方程右端的 $f(x) = 0$ 时，称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。

​ 齐次方程：\begin{equation} y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 \tag{1} \end{equation}

​ 非齐次方程：\begin{equation} y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) \tag{2} \end{equation}

定理 1 若 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 都是齐次方程 $(1)$ 的解，则$y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$是该齐次方程$(1)$的解。

证明：令 $y^* = C_1 \cdot y_1 + C_2 \cdot y_2$，则：

• 一阶导数：$(y^*)' = C_1 \cdot y_1' + C_2 \cdot y_2'$

• 二阶导数：$(y^*)'' = C_1 \cdot y_1'' + C_2 \cdot y_2''$

将 $y^*$ 代入齐次方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 左边：

$$\begin{align*} &(y^*)'' + P(x) \cdot (y^*)' + Q(x) \cdot y^*\\ &= \left( C_1 \cdot y_1'' + C_2 \cdot y_2'' \right) + P(x) \cdot \left( C_1 \cdot y_1' + C_2 \cdot y_2' \right) + Q(x) \cdot \left( C_1 \cdot y_1 + C_2 \cdot y_2 \right) \\ &= C_1 \cdot \left( y_1'' + P(x) \cdot y_1' + Q(x) \cdot y_1 \right) + C_2 \cdot \left( y_2'' + P(x) \cdot y_2' + Q(x) \cdot y_2 \right) \end{align*}$$

由于 $y_1, y_2$ 是齐次方程的解，因此 $y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 = 0$，$y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2 = 0$。代入上式得：$C_1 \cdot 0 + C_2 \cdot 0 = 0$

因此，$y^* = C_1 \cdot y_1 + C_2 \cdot y_2$ 满足齐次方程，即它是齐次方程的解。

定理 2 如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程$(1)$的两个线性无关的特解，那么：$y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$

就是方程 $(1)$ 的通解。

函数的线性相关性

设 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是 $n$ 个定义在区间 $I$ 上的函数。如果存在 $n$ 个不全为零的常数 $k_1, k_2, \dots, k_n$，使得等式：

​ $k_1y_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n = 0 \quad \forall x \in I$

恒成立，则称这 $n$ 个函数线性相关；否则，称这 $n$ 个函数线性无关。

线性无关的等价表述

要使得 $k_1y_1 + k_2y_2 + \cdots + k_ny_n = 0$ 对 $\forall x \in I$ 恒成立，必须 $k_1, k_2, \dots, k_n$ 全为零。

【注】 方程 $(1)$ 的两个解线性无关的充要条件是它们之比不为常数。

定理 3 如果 $y^*$ 是非齐次方程$(2)$的一个特解，$y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是齐次方程$(1)$的两个线性无关的特解，则：

$y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + y^*(x)$是非齐次微分方程$(2)$的通解。

即：非齐的通解 = 齐次通解 + 非齐特解。

定理 4 如果 $y_1'(x), y_2'(x)$ 是非齐次方程$(2)$的两个特解，则 $y(x) = y_2'(x) - y_1'(x)$ 是齐次微分方程$(1)$的解。

定理 5 如果 $y_1'(x), y_2'(x)$ 分别是方程

​ $y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x)$

​ $y'' + p(x)y' + q(x)y = f_2(x)$

的特解，则 $y_1'(x) + y_2'(x)$ 是方程$y'' + p(x)y' + q(x)y = f_1(x) + f_2(x)$的一个特解。

证明过程

令 $y^* = y_1 + y_2$，对 $y^*$ 求一阶导数：$(y^*)' = y_1' + y_2'$；

求二阶导数：$(y^*)'' = y_1'' + y_2''$。

将 $y^*$ 代入方程$(3)$的左边：

$$\begin{align*} (y^*)'' + P(x) \cdot (y^*)' + Q(x) \cdot y^*&=(y_1'' + y_2'') + P(x) \cdot (y_1' + y_2') + Q(x) \cdot (y_1 + y_2)\\ &=(y_1'' + P(x) \cdot y_1' + Q(x) \cdot y_1) + (y_2'' + P(x) \cdot y_2' + Q(x) \cdot y_2) \end{align*}$$

因为 $y_1$ 是方程 ① 的解，所以 $y_1'' + P(x) \cdot y_1' + Q(x) \cdot y_1 = f_1(x)$；

因为 $y_2$ 是方程 ② 的解，所以 $y_2'' + P(x) \cdot y_2' + Q(x) \cdot y_2 = f_2(x)$。

因此，$(y^*)'' + P(x) \cdot (y^*)' + Q(x) \cdot y^* = f_1(x) + f_2(x)$，即 $y_1 + y_2$ 是方程$(3)$的解。

2、常系数齐次线性微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程的一般形式为：

​ \begin{equation} y'' + py' + qy = 0 \tag{3} \end{equation}

其特征方程为 $r^2 + pr + q = 0$，设 $r_1, r_2$ 为该方程的两个根。

(1) 两个不相等的实特征根($\Delta = p^2 - 4q > 0$)

若 $r_1 \neq r_2$ 为两个不相等的实特征根，则方程$(3)$的通解为：$y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

(2) 二重实特征根($\Delta = p^2 - 4q = 0$)

若 $r_1 = r_2$ 为二重实特征根，则方程$(3)$的通解为：$y = (C_1 + C_2x)e^{r_1x}$

(3) 一对共轭复根($\Delta = p^2 - 4q < 0$)

若 $r_1 = \alpha + i\beta, r_2 = \alpha - i\beta$ 为一对共轭复根，则方程$(3)$的通解为：$y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$

齐次方程 $y'' + p \cdot y' + q \cdot y = 0$ 求解步骤

1. 写出特征方程：$r^2 + p \cdot r + q = 0$

2. 求出特征方根：$r_1, r_2$

3. 根据特征方根得通解：

• 若 $r_1 \neq r_2$（两个不相等的实根），通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

• 若 $r_1 = r_2 = r$（两个相等的实根），通解为 $y = (C_1 + C_2 x) e^{r x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

• 若 $r_{1,2} = \alpha \pm i\beta$（一对共轭复根），通解为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

例 1：求微分方程 $y'' - 2y' - 3y = 0$ 的通解

1. 写出特征方程：

   对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + p y' + q y = 0$，其特征方程为 $r^2 + p r + q = 0$。

   在此方程中，$p = -2$，$q = -3$，所以特征方程为 $r^2 - 2r - 3 = 0$。

2. 求特征根：

   解特征方程 $r^2 - 2r - 3 = 0$，可因式分解为 $(r - 3)(r + 1) = 0$，解得特征根 $r_1 = 3$，$r_2 = -1$。

3. 求通解：

   因为特征根为两个不相等的实根，根据二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式，当特征根 $r_1 \neq r_2$ 时，通解为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

   所以该方程的通解为 $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

例 2：求微分方程 $y'' - 2y' + 5y = 0$ 的通解

1. 写出特征方程：

   对于方程 $y'' - 2y' + 5y = 0$，其中 $p = -2$，$q = 5$，所以特征方程为 $r^2 - 2r + 5 = 0$。

2. 求特征根：

   用求根公式 $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$（对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$）解特征方程 $r^2 - 2r + 5 = 0$，这里 $a = 1$，$b = -2$，$c = 5$，则判别式 $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16$。

   所以特征根为 $r_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$，其中 $\alpha = 1$，$\beta = 2$。

3. 求通解：

   因为特征根为一对共轭复根 $r = \alpha \pm i\beta$，根据二阶常系数齐次线性微分方程通解的形式，此时通解为 $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

   所以该方程的通解为 $y = e^{x} (C_1 \cos2x + C_2 \sin2x)$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

3、常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为：

​ \begin{equation} y'' + py' + qy = f(x) \tag{4} \end{equation}

(1) $f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$ 型

其中 $P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式，则方程$(4)$的特解可设为：

​ $y^* = x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$

其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式，$k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数。

$\lambda$ 和特征根 $r_1$、$r_2$ 的关系	特解形式
$\lambda \neq r_1$ 且 $\lambda \neq r_2$	$y^* = x^0 \cdot e^{\lambda x} \cdot Q_n(x)$
$\lambda = r_1$ 且 $\lambda \neq r_2$	$y^* = x^1 \cdot e^{\lambda x} \cdot Q_n(x)$
$\lambda = r_1$ 且 $\lambda = r_2$	$y^* = x^2 \cdot e^{\lambda x} \cdot Q_n(x)$

求微分方程 $2y'' + y' - y = 2e^{x}$ 的通解

求对应齐次方程的通解

对应齐次方程为 $2y'' + y' - y = 0$。

其特征方程为 $2r^2 + r - 1 = 0$，解这个方程：

对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，求根公式为 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这里 $a = 2$，$b = 1$，$c = -1$，则：

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$

解得特征根 $r_1 = \frac{1}{2}$，$r_2 = -1$。

所以齐次方程的通解为 $Y(x) = C_1 e^{\frac{1}{2}x} + C_2 e^{-x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

求非齐次方程的一个特解

非齐次项为 $2e^{x}$，属于 $P_n(x)e^{\lambda x}$ 型（这里 $P_n(x)=2$，$\lambda = 1$）。

因为 $\lambda = 1$ 不是特征方程的根，所以设特解形式为 $y^* = x^0 \cdot e^{x} \cdot b = b e^{x}$（$b$ 为待定系数）。

求导：$(y^*)' = b e^{x}$，$(y^*)'' = b e^{x}$。

将 $y^*$，$(y^*)'$，$(y^*)''$ 代入原非齐次方程 $2y'' + y' - y = 2e^{x}$：

$2b e^{x} + b e^{x} - b e^{x} = 2e^{x}$

化简得 $2b e^{x} = 2e^{x}$，所以 $b = 1$，则特解 $y^* = e^{x}$。

求非齐次方程的通解

非齐次线性微分方程的通解为齐次方程通解加上非齐次方程的一个特解，即：

$y = Y(x) + y^* = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x} + e^{x}$，（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

求微分方程 $y'' - 5y' + 6y = xe^{2x}$ 的通解

求对应齐次方程的通解

对应齐次方程为 $y'' - 5y' + 6y = 0$，其特征方程为 $r^2 - 5r + 6 = 0$。

解特征方程：因式分解得 $(r - 2)(r - 3) = 0$，解得特征根 $r_1 = 2$，$r_2 = 3$。

所以齐次方程的通解为 $Y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

求非齐次方程的一个特解

非齐次项为 $xe^{2x}$，属于 $P_n(x)e^{\lambda x}$ 型（这里 $P_n(x)=x$，$\lambda = 2$）。

因为 $\lambda = 2$ 是特征方程的单根，所以设特解形式为 $y^* = x^1 \cdot e^{2x} \cdot (ax + b) = x e^{2x} (ax + b)$（$a,b$ 为待定系数）。

求导：

• 先对 $y^* = x(ax + b)e^{2x} = (ax^2 + bx)e^{2x}$ 求一阶导数：$(y^*)' = (2ax + b)e^{2x} + 2(ax^2 + bx)e^{2x} = [2ax^2 + (2a + 2b)x + b]e^{2x}$

• 再求二阶导数：$(y^*)'' = (4ax + 2a + 2b)e^{2x} + 2[2ax^2 + (2a + 2b)x + b]e^{2x} = [4ax^2 + (8a + 4b)x + 2a + 4b]e^{2x}$

将 $y^*$，$(y^*)'$，$(y^*)''$ 代入原非齐次方程 $y'' - 5y' + 6y = xe^{2x}$，两边约去 $e^{2x}$ 后：

$$\begin{align*} &[4ax^2 + (8a + 4b)x + 2a + 4b] - 5[2ax^2 + (2a + 2b)x + b] + 6(ax^2 + bx) = x\\ &4ax^2 + (8a + 4b)x + 2a + 4b - 10ax^2 - (10a + 10b)x - 5b + 6ax^2 + 6bx = x\\ &(4a - 10a + 6a)x^2 + (8a + 4b - 10a - 10b + 6b)x + (2a + 4b - 5b) = x\\ &(-2a)x + (2a - b) = x \end{align*}$$

比较系数得：

• 对于 $x$ 的一次项：$-2a = 1$，解得 $a = -\frac{1}{2}$。

• 常数项：$2a - b = 0$，将 $a = -\frac{1}{2}$ 代入，得 $2\times(-\frac{1}{2}) - b = 0$，即 $-1 - b = 0$，解得 $b = -1$。

所以特解 $y^* = x e^{2x} \left(-\frac{1}{2}x - 1\right)$。

求非齐次方程的通解

非齐次线性微分方程的通解为齐次方程通解加上非齐次方程的一个特解，即：

$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + x e^{2x} \left(-\frac{1}{2}x - 1\right)$，（$C_1, C_2$ 为任意常数）。

(2) $f(x) = e^{\alpha x}[P_l^{(1)}(x)\cos\beta x + P_n^{(2)}(x)\sin\beta x]$ 型

其中 $P_l^{(1)}(x), P_n^{(2)}(x)$ 分别为 $x$ 的 $l$ 次、$n$ 次多项式，则方程$(4)$的特解可设为：

​ $y^* = x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x + R_m^{(2)}(x)\sin\beta x]$

其中 $R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次多项式，$m = \max\{l, n\}$。

• 当 $\alpha + i\beta$ 不是方程 (3) 的特征根时，取 $k = 0$。

• 当 $\alpha + i\beta$ 是方程 (3) 的单特征根时，取 $k = 1$。

4、欧拉方程(仅数一要求)

形如：$x^ny^{(n)} + p_1x^{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + p_{n-1}xy' + p_n y = f(x)$

（其中 $p_1, p_2, \cdots, p_n$ 为常数）的方程称为欧拉方程。

令 $x = e^t$ 或 $t = \ln x$，可将上述欧拉方程化为线性常系数方程，一般地有：

$x^ky^{(k)} = D(D-1)\cdots(D-k+1)y$

其中 $D$ 代表对 $t$ 求导数的运算。

欧拉方程 $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ 特解求解（2021 题）

一、方程类型与解法思路

这是欧拉方程（形如 $x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0$ 的方程），解法是通过变量代换 $x = e^t$（即 $t = \ln x$），将其转化为常系数线性齐次微分方程，再用特征方程法求解。

二、详细求解步骤

步骤 1：变量代换 $x = e^t$

令 $x = e^t$，则 $t = \ln x$。引入微分算子 $D = \frac{d}{dt}$，利用欧拉方程的导数转换公式：

• $x y' = D y$

• $x^2 y'' = D(D-1) y$

步骤 2：转化为常系数线性方程

将原方程 $x^2 y'' + x y' - 4y = 0$ 中的导数项替换为微分算子形式：

$D(D-1)y + D y - 4y = 0$

展开并整理：

$[D^2 - D + D - 4]y = 0 \implies (D^2 - 4)y = 0$

步骤 3：求解特征方程

将微分算子 $D$ 替换为特征根 $r$，得到特征方程：$r^2 - 4 = 0$

解得特征根：$r = \pm 2$

步骤 4：写出关于 $t$ 的通解

由于特征根为两个不同实根 $r_1 = 2$，$r_2 = -2$，因此关于 $t$ 的通解为：

$y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}$

步骤 5：换回原变量 $x$

因为 $x = e^t$，即 $t = \ln x$，所以 $e^{2t} = (e^t)^2 = x^2$，$e^{-2t} = \frac{1}{x^2}$。将其代入通解得：

$y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^2}$

步骤 6：代入初始条件求特解

已知初始条件 $y(1) = 1$，$y'(1) = 2$。

• 代入$y(1) = 1 $：

  当 $x = 1$ 时，$y = C_1 \cdot 1^2 + \frac{C_2}{1^2} = C_1 + C_2$，因此：C_1 + C_2 = 1 \tag{1}

• 求导并代入$y'(1) = 2$：

  对 $y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^2}$ 求导：$y' = 2C_1 x - \frac{2C_2}{x^3}$

当 $x = 1$ 时，$y' = 2C_1 - 2C_2$，因此：

2C_1 - 2C_2 = 2 \implies C_1 - C_2 = 1 \tag{2}

• 解方程组 (1)(2)：

  联立 $\begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ C_1 - C_2 = 1 \end{cases}$，解得 $C_1 = 1$，$C_2 = 0$。

最终特解:$\boxed{y = x^2}$

5、差分方程（仅数三要求）

一阶常系数线性齐次差分方程

y_{t+1} + ay_t = 0 \tag{1}

的通解为 $y_t(t) = C \cdot (-a)^t$，$C$ 为任意常数。

一阶常系数线性非齐次差分方程

y_{t+1} + ay_t = f(t) \tag{2}

的通解为 $y_t = y_c(t) + y_t^*$，其中 $y_t^*$ 是非齐次差分方程 (2) 的特解。

(1) $f(t) = P_m(t)$ 型

• 若 $a \neq -1$，令 $y_t^* = Q_m(t)$

• 若 $a = -1$，令 $y_t^* = tQ_m(t)$

(2) $f(t) = d^t \cdot P_m(t)$ 型 ($d \neq 0$)

• 若 $a + d \neq 0$，令 $y_t^* = d^t \cdot Q_m(t)$

• 若 $a + d = 0$，令 $y_t^* = td^t \cdot Q_m(t)$