二元函数的极限与连续性

一元函数与二元函数的区别

• 一元函数：函数只依赖于一个自变量，其定义域是数轴上点的集合。

• 二元函数：函数依赖于两个自变量，其定义域是平面上点的集合，比如可以用来表示位置（经度、纬度）等涉及两个变量的情况。

二元函数定义

设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y) \in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为$z = f(x,y)$。其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量。函数值$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$。通常情况下，二元函数$z = f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面。

二元函数极限的定义

设二元函数 $f(x,y)$ 的定义域为 $D$，点 $P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚点。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$（无论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得对于满足不等式 $0 < \vert PP_0 \vert < \delta$ 的所有点 $P(x,y) \in D$，都有 $\vert f(x,y) - A \vert < \varepsilon$ 恒成立，那么就称常数 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y) \to (x_0,y_0)$ 时的极限，

记为$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = A$或$\lim\limits_{\substack{x \to x_0 \\ y \to y_0}} f(x,y) = A$或$\lim\limits_{P \to P_0} f(P) = A$。

这里 $\vert PP_0 \vert$ 是点 $P(x,y)$ 与点 $P_0(x_0,y_0)$ 之间的距离即$\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$，$\varepsilon$ 可以理解为误差，$\delta$ 依赖于 $\varepsilon$ 而确定，几何上表示以 $P_0$ 为圆心、$r = \delta$ 的圆内的所有点，函数值介于 $A - \varepsilon$ 到 $A + \varepsilon$ 之间。

【注】：

1. 这里的极限是要求点$(x,y)$在$D$内以任意方式趋近于点$(x_0,y_0)$时，函数$f(x,y)$都趋近于同一确定的常数$A$，否则该极限就不存在。
2. 一元函数极限中的下述性质对多元函数仍成立：

​ ① 局部有界性；② 保号性；③ 有理运算；④ 极限与无穷小的关系；⑤ 夹逼性。

二元函数极限的计算方法

分母不为 0 的连续函数 —— 直接代值

对于分母不为 0 的连续函数，求极限时可以直接将趋近的点代入函数进行计算。

例 1：计算 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,1)} \frac{1 - x + xy}{x^2 + y^2}$

将 $x = 0$，$y = 0$ 代入分子分母，代入后分子为 $1 - 0 + 0\times1 = 1$，分母为 $0^2 + 1^2 = 1$，极限值为 $1$。

分母为 0—— 变形处理

• 根式有理化：当函数中含有根式时，可通过分子分母同乘根式的共轭式来有理化，消去分母为 0 的情况。

例2：计算 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{x^2y^2 + 1} - 1}{x^2 + y^2}$。

分子分母同乘 $\sqrt{x^2y^2 + 1} + 1$，得到：

$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(\sqrt{x^2y^2 + 1} - 1)(\sqrt{x^2y^2 + 1} + 1)}{(x^2 + y^2)(\sqrt{x^2y^2 + 1} + 1)} = \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y^2}{(x^2 + y^2)(\sqrt{x^2y^2 + 1} + 1)}$

因为 $\sqrt{x^2y^2 + 1} + 1$ 当 $(x,y) \to (0,0)$ 时极限为 $2$，且 $\frac{y^2}{x^2 + y^2} \leq 1$（有界），$x^2$ 是无穷小量，无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，所以极限为 $0$。

• 换元法（转化为一元函数极限）：通过换元，将二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算。

例 3：计算 $\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 - \sqrt{xy + 4}}{xy}$。

法一：令 $xy = t$，当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，$t \to 0$，则极限变为 $\lim\limits_{t \to 0} \frac{2 - \sqrt{t + 4}}{t}$。分子分母同乘 $2 + \sqrt{t + 4}$ 有理化，得到：

$\lim\limits_{t \to 0} \frac{4 - (t + 4)}{t(2 + \sqrt{t + 4})} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-t}{t(2 + \sqrt{t + 4})} = \lim\limits_{t \to 0} \frac{-1}{2 + \sqrt{t + 4}} = -\frac{1}{4}$

法二：直接对原函数分子分母同乘 $2 + \sqrt{xy + 4}$ 有理化，得到：

$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(2 - \sqrt{xy + 4})(2 + \sqrt{xy + 4})}{xy(2 + \sqrt{xy + 4})} = \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{4 - (xy + 4)}{xy(2 + \sqrt{xy + 4})} = \lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{-xy}{xy(2 + \sqrt{xy + 4})} = -\frac{1}{4}$

二元函数的连续性(二重极限)

定义：设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0) \in D$，如果$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$成立，则称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续；如果$f(x,y)$在区域$D$上的每个点$(x,y)$处都连续，则称函数$f(x,y)$在区域$D$上连续。

一元函数在某点连续是左右极限都存在且等于该点函数值（仅有两个方向趋于该点）；

二元函数在某点连续，要求平面上任意方向趋于该点时，极限都存在且等于该点的函数值（有无穷个方向趋于该点）。

性质：

• 性质 1：多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数。

• 性质 2：多元连续函数的复合函数也是连续函数。

• 性质 3：多元初等函数在其定义区域内连续。

• 性质 4（最大值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得最大值与最小值。

• 性质 5（介值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值。

例 4：判断$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$是否存在

要判断二元函数在$(x,y) \to (0,0)$时的极限是否存在，需验证沿任意路径趋于$(0,0)$时极限是否都存在且相等。我们注意到方程是齐次的，通过选取特殊路径($y = kx,\ y = kx^2,\ y = 0,\ x = 0, \dots$)来分析：

步骤 1：选取特殊路径$x = 0$

当$x = 0$，$y \to 0$时，函数变为：

$\lim\limits_{y \to 0}\frac{0 - y^2}{0 + y^2} = \lim\limits_{y \to 0}\frac{-y^2}{y^2} = -1$

步骤 2：选取特殊路径$y = x$

当$y = x$，$x \to 0$时，函数变为：

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2 - x^2}{x^2 + x^2} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{0}{2x^2} = 0$

步骤 3：分析极限是否存在

由于沿路径$x = 0$（$y \to 0$）得到的极限值为$-1$，沿路径$y = x$（$x \to 0$）得到的极限值为$0$，$-1 \neq 0$，即沿不同路径趋于$(0,0)$时极限值不相等。

另外，还可选取路径$y = kx$（$k$为常数），此时函数变为：

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2 - (kx)^2}{x^2 + (kx)^2} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{1 - k^2}{1 + k^2}$

极限值依赖于$k$的取值，进一步说明极限不存在。

综上，$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$不存在。

例 5：判断$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^4 + y^4}$是否存在

要判断该二元函数的二重极限是否存在，通过选取不同的特殊路径来分析：

步骤 1：选取路径$y = x$

当$y = x$，$x \to 0$时，将$y = x$代入函数，得到：

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2 \cdot x^2}{x^4 + x^4} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2}$

步骤 2：选取路径$y = 0$

当$y = 0$，$x \to 0$时，将$y = 0$代入函数，分子$x^2y^2 = x^2 \cdot 0^2 = 0$，分母$x^4 + y^4 = x^4 + 0^4 = x^4 \to 0$（趋于$0$但不为$0$），所以：

$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x^2y^2}{x^4 + y^4} = \lim\limits_{x \to 0}\frac{0}{x^4} = 0$

步骤 3：分析极限是否存在

由于沿路径$y = x$（$x \to 0$）得到的极限值为$\frac{1}{2}$，沿路径$y = 0$（$x \to 0$）得到的极限值为$0$，$\frac{1}{2} \neq 0$，即沿不同路径趋于$(0,0)$时极限值不相等。

综上，$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y^2}{x^4 + y^4}$不存在。

二元函数的二次极限与二重极限

二次极限

二次极限有**先$x$后$y$和先$y$后$x$**两种，本质是两次求一元函数的极限，计算时从内往外进行。

• 先$x$后$y$的二次极限：$\lim\limits_{y \to y_0} \left( \lim\limits_{x \to x_0} f(x,y) \right)$。计算时，先把$y$看作常数，求内层$x \to x_0$时的极限（若存在，结果是关于$y$的表达式$g(y)$），再求外层$y \to y_0$时$g(y)$的极限。

• 先先$y$后$x$的二次极限：$\lim\limits_{x \to x_0} \left( \lim\limits_{y \to y_0} f(x,y) \right)$。计算时，先把$x$看作常数，求内层$y \to y_0$时的极限（若存在，结果是关于$x$的表达式$\varphi(x)$），再求外层$x \to x_0$时$\varphi(x)$的极限。

二次极限存在的前提是两次一元函数极限都存在；若内层极限不存在，可直接判定该二次极限不存在。

二重极限

二重极限$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y)$要求$(x,y)$以任意路径趋于$(x_0,y_0)$时，极限都存在且相等。

若要说明二重极限不存在，可通过以下两种方式：

• 找到两条不同路径，使得沿这两条路径趋于$(x_0,y_0)$时，极限存在但不相等；

• 找到一条路径，使得沿该路径趋于$(x_0,y_0)$时，极限不存在。

二次极限与二重极限的关系

二者无必然联系，存在多种情况：

1. 两个二次极限均不存在，但二重极限存在

   例如函数$f(x,y) = x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x}$，先$x \to 0$时，$y\sin\frac{1}{x}$振荡，内层极限不存在，故先$x$后$y$的二次极限不存在；同理先$y$后$x$的二次极限也不存在。但二重极限$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} \left( x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x} \right) = 0$（因为$x$、$y$是无穷小量，$\sin\frac{1}{y}$、$\sin\frac{1}{x}$是有界量，无穷小量乘有界量仍为无穷小量）。

2. 两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在

   例如函数$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$，先$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$，再$y \to 0$，得先$x$后$y$的二次极限为$0$；同理先$y$后$x$的二次极限也为$0$。但取路径$y = kx$（$k$为常数），则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cdot kx}{x^2 + (kx)^2} = \frac{k}{1 + k^2}$，极限值依赖于$k$，故二重极限不存在。

3. 二重极限及两个二次极限均存在，则三者相等

   这是一种理想情况，当函数满足一定连续性等条件时成立。

4. 二重极限及一个二次极限存在，其值必相等

   可通过极限的唯一性等性质推导得出。

5. 若两个二次极限存在但不相等，二重极限必不存在

   用反证法，若二重极限存在，根据极限唯一性，它应与两个二次极限都相等，这与两个二次极限不相等矛盾，故二重极限不存在。例如函数$f(x,y) = \frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y}$，先$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0} \frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y} = \frac{y + y^2}{y} = 1 + y$，再$y \to 0$，得先$x$后$y$的二次极限为$1$；先$y \to 0$时，$\lim\limits_{y \to 0} \frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y} = \frac{-x + x^2}{x} = -1 + x$，再$x \to 0$，得先$y$后$x$的二次极限为$-1$。两个二次极限不相等，故二重极限不存在。

例 5：求$x \to 0,y \to 0$处的两个二次极限

① 函数$f(x,y) = \frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y}$

• 先$x \to 0$后$y \to 0$的二次极限：

  将$y$视为常数，计算内层极限$\lim\limits_{x \to 0}\frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y}$，把$x = 0$代入，得到$\frac{y + y^2}{y}=1 + y$。

  再计算外层极限$\lim\limits_{y \to 0}(1 + y)=1$。

• 先$y \to 0$后$x \to 0$的二次极限：

  将$x$视为常数，计算内层极限$\lim\limits_{y \to 0}\frac{-x + y + x^2 + y^2}{x + y}$，把$y = 0$代入，得到$\frac{-x + x^2}{x}=-1 + x$。

  再计算外层极限$\lim\limits_{x \to 0}(-1 + x)=-1$。

两个二次极限存在但不相等。

② 函数$f(x,y) = x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x}$

• 二次极限：

  先$x \to 0$时，$y\sin\frac{1}{x}$因$\sin\frac{1}{x}$振荡，无极限，所以先$x$后$y$的二次极限不存在；同理，先$y$后$x$的二次极限也不存在。

• 二重极限：

  因为$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} x\sin\frac{1}{y} \to 0$，$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)} y\sin\frac{1}{x} \to 0$，根据极限可加性，$\lim\limits_{(x,y) \to (0,0)}(x\sin\frac{1}{y} + y\sin\frac{1}{x}) = 0$，二重极限存在

即两个二次极限均不存在，但二重极限存在。

③ 函数$f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$

• 二次极限：

  先$x \to 0$时，$\lim\limits_{x \to 0}\frac{xy}{x^2 + y^2}=0$（把$y$视为常数），再$y \to 0$，得先$x$后$y$的二次极限为$0$；同理，先$y$后$x$的二次极限也为$0$，两个二次极限存在且相等。

• 二重极限：

  取路径$y = kx$（$k$为常数），则$\lim\limits_{x \to 0}\frac{x\cdot kx}{x^2 + (kx)^2}=\frac{k}{1 + k^2}$，极限值依赖于$k$，故二重极限不存在

两个二次极限存在且相等，但二重极限未必存在。

偏导数

偏导数的概念

• 一元函数：导数反映函数的变化率。

• 多元函数：自变量不止一个（如$z = f(x,y)$），若研究函数关于某一自变量（如$x$）的变化率，需固定除$x$以外的其他自变量，由此引出偏导数。

偏导数的核心思想

求谁的偏导数，就将其他自变量均视为常数，转化为一元函数的导数问题。

• 符号变化：一元导数的 “$\mathrm{d}$” 在偏导数中变为 “$\partial$”。

偏导数的定义与计算

设$z = f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义：

• 关于$x$的偏导数$f_x'(x_0,y_0)$：

$f_x'(x_0,y_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$

• 关于$y$的偏导数$f_y'(x_0,y_0)$：

$f_y'(x_0,y_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}$

注意：对于分段函数，在分段点上需用定义求偏导数。

二元函数偏导数的几何意义

设$M(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$为曲面$z = f(x,y)$上的一点。过点$M$作平面$y = y_0$与曲面$z = f(x,y)$相交，其交线为平面$y = y_0$上的曲线$\begin{cases} z = f(x,y_0) \\ y = y_0 \end{cases}$，则$f'_x(x_0,y_0)$表示上述交线在点$M$处的切线对$x$轴的斜率。同样，过点$M$作平面$x = x_0$与曲面$z = f(x,y)$相交，其交线为平面$x = x_0$上的曲线$\begin{cases} z = f(x_0,y) \\ x = x_0 \end{cases}$，则$f'_y(x_0,y_0)$表示上述交线在点$M$处的切线对$y$轴的斜率。

高阶偏导数

高阶偏导数是对偏导数再次求偏导的结果。例如一元函数的二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx}$，多元函数的高阶偏导数同理。

一般地，二元函数的$n$阶偏导数有$2^n$个。以二阶偏导数为例：

• 对$x$的二阶偏导数：$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = z_{xx}'' = \frac{\partial \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}{\partial x}$

• 对$y$的二阶偏导数：$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{yy}'' = \frac{\partial \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}{\partial y}$

• 混合偏导数（先对$x$后对$y$）：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = z_{xy}'' = \frac{\partial \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)}{\partial y}$

• 混合偏导数（先对$y$后对$x$）：$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = z_{yx}'' = \frac{\partial \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)}{\partial x}$

高阶混合偏导数相等的条件:若混合偏导数均为连续函数，则它们相等，即$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$。

例 1：求$f(x,y) = x^2 + \ln y + 3xy$在$(1,2)$处的$\frac{\partial f}{\partial x}$和$\frac{\partial f}{\partial y}$

求偏导数时，需将其他自变量视为常数：

• 对$x$求偏导：

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 3y$

代入点$(1,2)$，得：

$\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,2)} = 2 \times 1 + 3 \times 2 = 8$

• 对$y$求偏导：

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{y} + 3x$

代入点$(1,2)$，得：

$\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,2)} = \frac{1}{2} + 3 \times 1 = \frac{7}{2}$

例 2：求$z = (1 + xy)^y$的$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$

1. 对$x$求偏导（将$y$视为常数）

将$z = (1 + xy)^y$视为关于$x$的幂函数，根据幂函数求导法则：

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} &= y(1 + xy)^{y-1} \cdot \frac{\partial (1 + xy)}{\partial x} \\ &= y(1 + xy)^{y-1} \cdot y \\ &= y^2(1 + xy)^{y-1} \end{align*}$$

2. 对$y$求偏导（将$x$视为常数，先化为以$e$为底的指数形式）

先将$z = (1 + xy)^y$变形为$z = e^{y\ln(1 + xy)}$，再根据复合函数求导法则：

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial y} &= e^{y\ln(1 + xy)} \cdot \frac{\partial \left( y\ln(1 + xy) \right)}{\partial y} \\ &= (1 + xy)^y \cdot \left[ \ln(1 + xy) + y \cdot \frac{x}{1 + xy} \right] \\ &= (1 + xy)^y \left[ \ln(1 + xy) + \frac{xy}{1 + xy} \right] \end{align*}$$

例 3：求$f(x,y,z) = x^{y^z}$的$\frac{\partial f}{\partial x}$、$\frac{\partial f}{\partial y}$和$\frac{\partial f}{\partial z}$

先将$x^{y^z}$变形为以$e$为底的指数形式$e^{y^z \ln x}$，再分别对$x,y,z$求偏导（求偏导时将其他变量视为常数）：

1. 对$x$求偏导

将$y,z$视为常数，按幂函数求导法则：

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^z \cdot x^{y^z - 1}$

2. 对$y$求偏导

将$x,z$视为常数，按复合函数求导法则：

$$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y} &= e^{y^z \ln x} \cdot z y^{z-1} \ln x \\ &= x^{y^z} \cdot z y^{z-1} \ln x \end{align*}$$

3. 对$z$求偏导

将$x,y$视为常数，按复合函数求导法则：

$$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial z} &= e^{y^z \ln x} \cdot y^z \ln y \ln x \\ &= x^{y^z} \cdot y^z \ln x \ln y \end{align*}$$

例 4：求$z = \int_{x}^{x^2 + y^2} e^t dt$的$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$和$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

步骤 1：拆分积分并求一阶偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$

将积分拆分为$z = \int_{a}^{x^2 + y^2} e^t dt - \int_{a}^{x} e^t dt$（$a$为常数），根据变上限积分求导法则：

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} &= e^{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial (x^2 + y^2)}{\partial x} - e^x \\ &= 2x \cdot e^{x^2 + y^2} - e^x \end{align*}$$

步骤 2：求二阶偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$

对$\frac{\partial z}{\partial x}$再次关于$x$求偏导：

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x} \left( 2x e^{x^2 + y^2} - e^x \right) \\ &= 2e^{x^2 + y^2} + 2x \cdot e^{x^2 + y^2} \cdot 2x - e^x \\ &= (4x^2 + 2) e^{x^2 + y^2} - e^x \end{align*}$$

步骤 3：求混合偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

对$\frac{\partial z}{\partial x}$关于$y$求偏导：

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \left( 2x e^{x^2 + y^2} - e^x \right) \\ &= 2x \cdot e^{x^2 + y^2} \cdot 2y - 0 \\ &= 4xy e^{x^2 + y^2} \end{align*}$$

说明：高阶偏导数需从低阶开始逐步求解，每一步都遵循 “求谁的偏导，其他变量视为常数” 的核心思想。

例 5：求分段函数$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x^3y - xy^3}{x^2 + y^2} & (x^2 + y^2 \neq 0) \\ 0 & (x^2 + y^2 = 0) \end{cases}$在$(0,0)$处的$f_{xy}''(0,0)$和$f_{yx}''(0,0)$

步骤 1：用定义求一阶偏导数$f_x'(0,0)$和$f_y'(0,0)$

• 对$x$的一阶偏导数：

$f_x'(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0$

• 对$y$的一阶偏导数：

$f_y'(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, 0 + \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta y} = 0$

步骤 2：求$x^2 + y^2 \neq 0$时的一阶偏导数$f_x'(x,y)$和$f_y'(x,y)$

• 对$x$求偏导（商的导数法则）：

$f_x'(x,y) = \frac{(3x^2y - y^3)(x^2 + y^2) - (x^3y - xy^3) \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^4y + 4x^2y^3 - y^5}{(x^2 + y^2)^2}$

• 对$y$求偏导（商的导数法则）：

$f_y'(x,y) = \frac{(x^3 - 3xy^2)(x^2 + y^2) - (x^3y - xy^3) \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^5 - 4x^3y^2 - xy^4}{(x^2 + y^2)^2}$

步骤 3：用定义求混合二阶偏导数$f_{xy}''(0,0)$和$f_{yx}''(0,0)$

• 求$f_{xy}''(0,0)$：

$f_{xy}''(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f_x'(0, 0 + \Delta y) - f_x'(0,0)}{\Delta y}$

代入$f_x'(x,y)$（令$x = 0$），得$f_x'(0, \Delta y) = \frac{0 + 0 - (\Delta y)^5}{(\Delta y)^4} = -\Delta y$，因此：

$f_{xy}''(0,0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{-\Delta y - 0}{\Delta y} = -1$

• 求$f_{yx}''(0,0)$：

$f_{yx}''(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f_y'(0 + \Delta x, 0) - f_y'(0,0)}{\Delta x}$

代入$f_y'(x,y)$（令$y = 0$），得$f_y'(\Delta x, 0) = \frac{(\Delta x)^5 - 0 - 0}{(\Delta x)^4} = \Delta x$，因此：

$f_{yx}''(0,0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x - 0}{\Delta x} = 1$

结论：在分段点$(0,0)$处，$f_{xy}''(0,0) = -1$，$f_{yx}''(0,0) = 1$，说明混合偏导数不相等（因混合偏导数在$(0,0)$处不连续）。

全微分

定义（全微分）：如果函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全增量

$$\Delta z = f(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)$$

可表示为

$$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho)$$

其中$A,B$与$\Delta x,\Delta y$无关，$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$，则称函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，而称$A\Delta x + B\Delta y$为函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的全微分，记为

$$dz = A\Delta x + B\Delta y$$

​ 如果$f(x,y)$在区域$D$内的每一点$(x,y)$都可微分，则称$f(x,y)$在$D$内可微分。

定理（全微分存在的必要条件）：如果函数$z = f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，则该函数在点$(x,y)$处的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且

$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$

用定义判定$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的可微性分以下两步：

1. $f'_x(x_0,y_0)$与$f'_y(x_0,y_0)$是否都存在？
2. $\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{[f(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - f(x_0,y_0)] - [f'_x(x_0,y_0)\Delta x + f'_y(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}$是否为零？

定理（全微分存在的充分条件）：如果$z = f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x_0,y_0)$处连续，则函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微。

连续、可偏导及可微之间的关系

连续、可偏导及可微之间的关系

一、证明可微的方法

1. 方法一：证明偏导连续

   若能证明函数的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$在某点连续，则根据全微分存在的充分条件，函数在该点可微。

2. 方法二：利用可微定义的极限

   验证极限$\lim\limits_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - dz}{\rho} = 0$（其中$\rho = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$），具体步骤如下：

• 步骤 1：计算全增量$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)$。

• 步骤 2：计算全微分$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。

• 步骤 3：将$\Delta z$和$dz$代入极限式，验证其值为 0。

二、证明不可微的方法

1. 方法一：利用必要条件

   若函数不连续，或偏导数不存在，则函数不可微。

2. 方法二：利用可微定义的极限

   验证极限$\lim\limits_{\rho \to 0} \frac{\Delta z - dz}{\rho} \neq 0$（或极限不存在），即验证$\lim\limits_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) - \frac{\partial z}{\partial x}dx - \frac{\partial z}{\partial y}dy}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} \neq 0$（或极限不存在）。

3. 方法三：特殊路径法

   若存在某条路径，使得上述极限不为 0，则函数不可微。

注意：偏导不连续不能直接推出函数不可微，需通过上述方法进一步验证。

题目：关于二元函数$f(x,y)$，正确的是（$B$）。

解析：

• 选项 A：偏导不连续，全微分可能存在（偏导连续是可微的充分非必要条件），故 A 错误。

• 选项 B：偏导连续$\Rightarrow$函数可微$\Rightarrow$全微分存在，故 B 正确。

• 选项 C：全微分存在$\Rightarrow$偏导存在，但偏导不一定连续（可微是偏导连续的必要非充分条件），故 C 错误。

• 选项 D：全微分存在$\Rightarrow$偏导一定存在，故 D 错误。

综上，正确答案为$B$。

题目：设$f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{|xy|}}{x^2 + y^2} \sin(x^2 + y^2) & (x^2 + y^2 \neq 0) \\ 0 & (x^2 + y^2 = 0) \end{cases}$，判断$(0,0)$处的连续性、偏导数存在性与可微性。

解：

连续性：

$\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sqrt{|xy|}}{x^2 + y^2} \sin(x^2 + y^2) = \lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{|xy|} = 1 \cdot 0 = 0 = f(0,0)$

故函数在$(0,0)$处连续。

偏导数存在性：

• 对$x$的偏导数（定义法）：

$f_x'(0,0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x, 0) - f(0,0)}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta x} = 0$

• 对$y$的偏导数（定义法）：

$f_y'(0,0) = \lim \limits_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, \Delta y) - f(0,0)}{\Delta y} = \lim \limits_{\Delta y \to 0} \frac{0 - 0}{\Delta y} = 0$

故偏导数在$(0,0)$处存在。

可微性：

• 全增量$\Delta z = \frac{\sqrt{|\Delta x \cdot \Delta y|}}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \sin[(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2]$

• 全微分$dz = 0 \cdot dx + 0 \cdot dy = 0$

• 验证极限：取路径$\Delta x = \Delta y$，

$\lim \limits_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{\Delta z - dz}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sqrt{(\Delta x)^2} \sin(2\Delta x^2)}{[2\Delta x^2]^{\frac{3}{2}}} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x| \cdot 2\Delta x^2}{2\sqrt{2} |\Delta x|^3} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0$

故函数在$(0,0)$处不可微。

题目：求$u = \ln(3x - 2y + z)$的全微分$du$。

解：

求偏导数：

• 对$x$的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{3}{3x - 2y + z}$

• 对$y$的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-2}{3x - 2y + z}$

• 对$z$的偏导数：$\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{1}{3x - 2y + z}$

全微分公式：因偏导数均连续，故全微分存在，

$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz = \frac{3dx - 2dy + dz}{3x - 2y + z}$

复合函数微分法

定理

设函数 $u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 处有对 $x$ 及对 $y$ 的偏导数，函数 $z = f(u,v)$ 在对应点 $(u,v)$ 处有连续偏导数，则复合函数 $z = f[u(x,y), v(x,y)]$ 在点 $(x,y)$ 处的两个偏导数存在，且有

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}$

全微分形式的不变性

设函数 $z = f(u,v)$，$u = u(x,y)$ 及 $v = v(x,y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z = f[u(x,y), v(x,y)]$ 的全微分

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv$

即：不论把函数 $z$ 看做自变量 $x,y$ 的函数，还是看作中间变量 $u,v$ 的函数，函数 $z$ 的全微分形式都是一样的。

例题：已知 $w = xy + z$，$x = \cos t$，$y = \sin t$，$z = t$，求 $\frac{dw}{dt}\big|_{t=0}$。

步骤 1：分析复合关系

函数 $w$ 是中间变量 $x,y,z$ 的函数，而 $x,y,z$ 又都是自变量 $t$ 的函数，因此需用复合函数全导数法则（“同链相乘，异链相加”）求解。

步骤 2：应用全导数公式

根据复合函数求导法则，全导数 $\frac{dw}{dt}$ 为：

$\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{dz}{dt}$

步骤 3：分别求偏导和导数

• 对 $w$ 求偏导：$\frac{\partial w}{\partial x} = y$，$\frac{\partial w}{\partial y} = x$，$\frac{\partial w}{\partial z} = 1$。

• 对 $x,y,z$ 求关于 $t$ 的导数：$\frac{dx}{dt} = -\sin t$，$\frac{dy}{dt} = \cos t$，$\frac{dz}{dt} = 1$。

步骤 4：代入公式并化简

将上述结果代入全导数公式：

$$\begin{align*} \frac{dw}{dt} &= y \cdot (-\sin t) + x \cdot \cos t + 1 \cdot 1 \\ &= \sin t \cdot (-\sin t) + \cos t \cdot \cos t + 1 \quad (\text{代入} x = \cos t, y = \sin t) \\ &= -\sin^2 t + \cos^2 t + 1 \\ &= \cos 2t + 1 \quad (\text{利用三角恒等式} \cos^2 t - \sin^2 t = \cos 2t) \end{align*}$$

步骤 5：求 $t=0$ 处的导数值

将 $t = 0$ 代入上式：

$\frac{dw}{dt}\big|_{t=0} = \cos 0 + 1 = 1 + 1 = 2$

结论：$\frac{dw}{dt}\big|_{t=0} = \boxed{2}$。

例题：含四则运算的复合函数求导

设 $z = F(u,v) \cdot \sin x$，其中 $u = e^x$，$v = \cos x$，求 $\frac{dz}{dx}$。

步骤 1：分析函数结构

$z$ 是由 $F(u,v)$ 与 $\sin x$ 相乘得到的函数，且 $u, v$ 都是 $x$ 的函数，因此需结合乘积的求导法则和复合函数求导法则求解。

步骤 2：应用乘积求导法则

根据乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$，令 $u = F(u,v)$，$v = \sin x$，则：

$\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}F(u,v) \cdot \sin x + F(u,v) \cdot \frac{d}{dx}(\sin x)$

步骤 3：对 $F(u,v)$ 求关于 $x$ 的导数（复合函数求导）

$F(u,v)$ 是 $u, v$ 的函数，而 $u, v$ 又是 $x$ 的函数，因此：

$\frac{d}{dx}F(u,v) = \frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{du}{dx} + \frac{\partial F}{\partial v} \cdot \frac{dv}{dx}$

其中：

• $\frac{\partial F}{\partial u} = F_u'$（或 $F_1'$），$\frac{\partial F}{\partial v} = F_v'$（或 $F_2'$）；

• $\frac{du}{dx} = e^x$（因 $u = e^x$），$\frac{dv}{dx} = -\sin x$（因 $v = \cos x$）。

代入得：

$\frac{d}{dx}F(u,v) = F_u' \cdot e^x + F_v' \cdot (-\sin x)$

步骤 4：代入并化简

将 $\frac{d}{dx}F(u,v)$ 和 $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$ 代入乘积求导的结果中：

$$\begin{align*} \frac{dz}{dx} &= \left( F_u' \cdot e^x - F_v' \cdot \sin x \right) \cdot \sin x + F(u,v) \cdot \cos x \\ &= F_u' e^x \sin x - F_v' \sin^2 x + F(u,v) \cos x \end{align*}$$

结论：$\frac{dz}{dx} = \boxed{F_u' e^x \sin x - F_v' \sin^2 x + F \cos x}$（也可将 $F_u'$ 写为 $F_1'$，$F_v'$ 写为 $F_2'$）。

例题：二次复合函数的偏导数求解

设 $z = f(x^2 - y^2, \cos xy)$，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，求 $\frac{\partial z}{\partial r}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial \theta}$。

步骤 1：引入中间变量，分析复合结构

令 $u = x^2 - y^2$，$v = \cos xy$，则 $z = f(u, v)$。

• $u, v$ 是 $x, y$ 的函数；

• $x, y$ 是 $r, \theta$ 的函数（极坐标变换）。

  因此，$z$ 是二次复合函数，需通过 “多层链式法则” 求解偏导数。

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步骤 2：求 $\frac{\partial z}{\partial r}$

根据链式法则，$\frac{\partial z}{\partial r}$ 需通过 $u, v$ 对 $x, y$ 求偏导，再结合 $x, y$ 对 $r$ 求偏导，最终叠加得到：

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial r}$

分别计算各偏导数：

• 对 $u$ 求偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$；

• 对 $v$ 求偏导：$\frac{\partial v}{\partial x} = -y\sin(xy)$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -x\sin(xy)$；

• 对 $x, y$ 求关于 $r$ 的偏导：$\frac{\partial x}{\partial r} = \cos\theta$，$\frac{\partial y}{\partial r} = \sin\theta$；

• 对 $z$ 求关于 $u, v$ 的偏导：$\frac{\partial z}{\partial u} = f_1'$，$\frac{\partial z}{\partial v} = f_2'$。

代入并化简：

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial r} &= f_1' \cdot 2x \cdot \cos\theta + f_1' \cdot (-2y) \cdot \sin\theta + f_2' \cdot (-y\sin xy) \cdot \cos\theta + f_2' \cdot (-x\sin xy) \cdot \sin\theta \\ &= 2f_1'(x\cos\theta - y\sin\theta) - f_2'\sin xy (y\cos\theta + x\sin\theta) \end{align*}$$

步骤 3：求 $\frac{\partial z}{\partial \theta}$

同理，$\frac{\partial z}{\partial \theta}$ 需通过 $u, v$ 对 $x, y$ 求偏导，结合 $x, y$ 对 $\theta$ 求偏导，叠加得到：

$\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial \theta}$

分别计算各偏导数：

• 对 $x, y$ 求关于 $\theta$ 的偏导：$\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r\sin\theta$，$\frac{\partial y}{\partial \theta} = r\cos\theta$；

• 其余偏导数与步骤 2 中一致。

代入并化简：

$$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial \theta} &= f_1' \cdot 2x \cdot (-r\sin\theta) + f_1' \cdot (-2y) \cdot r\cos\theta + f_2' \cdot (-y\sin xy) \cdot (-r\sin\theta) + f_2' \cdot (-x\sin xy) \cdot r\cos\theta \\ &= -2rf_1'(x\sin\theta + y\cos\theta) + rf_2'\sin xy (y\sin\theta - x\cos\theta) \end{align*}$$

结论：

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial r} = 2f_1'(x\cos\theta - y\sin\theta) - f_2'\sin xy (y\cos\theta + x\sin\theta)}$

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial \theta} = -2rf_1'(x\sin\theta + y\cos\theta) + rf_2'\sin xy (y\sin\theta - x\cos\theta)}$

（其中 $f_1' = \frac{\partial f}{\partial u}$，$f_2' = \frac{\partial f}{\partial v}$）

例题：二阶混合偏导数的求解

设 $z = f(u, v)$，$x = u + av$，$y = u - av$（$a$ 为常数），且 $z$ 关于 $x, y$ 有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$。

步骤 1：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$

根据链式法则，$z$ 是 $u, v$ 的函数，而 $u, v$ 又通过 $x, y$ 关联。先求 $u, v$ 对 $x$ 的偏导数：

由 $\begin{cases} x = u + av \\ y = u - av \end{cases}$，解得 $u = \frac{x + y}{2}$，$v = \frac{x - y}{2a}$。

对 $x$ 求偏导：

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{2a}$

因此，

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = f_1' \cdot \frac{1}{2} + f_2' \cdot \frac{1}{2a}$

步骤 2：求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$

即对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导。注意 $f_1', f_2'$ 仍是 $u, v$ 的函数，需继续用链式法则：

先求 $u, v$ 对 $y$ 的偏导数：

$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{2a}$

对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导：

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{2}f_1' + \frac{1}{2a}f_2' \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( f_{11}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{12}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right) + \frac{1}{2a} \left( f_{21}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{22}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( f_{11}'' \cdot \frac{1}{2} + f_{12}'' \cdot \left( -\frac{1}{2a} \right) \right) + \frac{1}{2a} \left( f_{21}'' \cdot \frac{1}{2} + f_{22}'' \cdot \left( -\frac{1}{2a} \right) \right) \end{align*}$$

由于 $z$ 有二阶连续偏导数，混合偏导数相等，即 $f_{12}'' = f_{21}''$，代入化简：

$$\begin{align*} \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= \frac{1}{4}f_{11}'' - \frac{1}{4a}f_{12}'' + \frac{1}{4a}f_{21}'' - \frac{1}{4a^2}f_{22}'' \\ &= \frac{1}{4}f_{11}'' - \frac{1}{4a^2}f_{22}'' \end{align*}$$

结论：

$\boxed{\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4}f_{11}'' - \frac{1}{4a^2}f_{22}''}$

（其中 $f_{11}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}$，$f_{22}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}$）

一、二阶混合偏导数的核心思路

二阶混合偏导数（如 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$）本质是 “先对一个变量求一阶偏导，再对另一个变量求偏导” 的连续操作。

核心逻辑：由于一阶偏导数（如 $\frac{\partial z}{\partial x}$）仍可能是原自变量（$x,y$）的函数（或通过中间变量关联），因此求二阶偏导时，需重复链式法则的应用，且要注意 “一阶偏导的复合性”—— 即 $f_1', f_2'$（对中间变量的一阶偏导）仍和原函数 $f(u,v)$ 有相同的复合结构（仍依赖 $u,v$，进而依赖 $x,y$）。

二、具体求解步骤（结合例题拆解）

以 “已知 $z=f(u,v)$，$x=u+av$，$y=u-av$，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$” 为例，分两步走：

步骤 1：先求 “第一次偏导”（如 $\frac{\partial z}{\partial x}$）

这一步是基础，需先明确函数的复合关系，再用一阶链式法则求解：

1. 梳理复合链：$z$ 依赖中间变量 $u,v$，$u,v$ 又依赖最终自变量 $x,y$（即 $z \to u,v \to x,y$）；

2. 解出中间变量与自变量的关系：通过方程组 $\begin{cases}x=u+av \\ y=u-av\end{cases}$，反解出 $u=\frac{x+y}{2}$，$v=\frac{x-y}{2a}$（关键！后续求偏导需用此关系）；

3. 应用一阶链式法则：对 $x$ 求偏导时，需遍历所有中间变量的 “路径”，公式为：

   $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$

   代入具体偏导值（$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{2}$，$\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{2a}$），得到：

   $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}f_1' + \frac{1}{2a}f_2'$（其中 $f_1'=\frac{\partial z}{\partial u}$，$f_2'=\frac{\partial z}{\partial v}$）。

步骤 2：再求 “第二次偏导”（对第一步结果求另一变量的偏导，如 $\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$）

这一步是关键，核心是把$f_1', f_2'$当新的复合函数对待”：

1. 明确求导对象的结构：第一步得到的 $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}f_1' + \frac{1}{2a}f_2'$ 是 “两个复合函数的和”，因此对 $y$ 求偏导时，需用和的求导法则，分别对 $\frac{1}{2}f_1'$ 和 $\frac{1}{2a}f_2'$ 求偏导后相加；

2. 对$f_1'$应用链式法则：$f_1'$ 仍是 $u,v$ 的函数（和原函数 $f(u,v)$ 复合结构一致），因此对 $y$ 求偏导时：

   $\frac{\partial f_1'}{\partial y} = \frac{\partial f_1'}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_1'}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$

   其中 $\frac{\partial f_1'}{\partial u}=f_{11}''$（$f$ 对 $u$ 的二阶偏导），$\frac{\partial f_1'}{\partial v}=f_{12}''$（$f$ 先对 $u$ 再对 $v$ 的混合偏导），再代入 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2}$，$\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{2a}$，得到：

   $\frac{\partial f_1'}{\partial y} = \frac{1}{2}f_{11}'' - \frac{1}{2a}f_{12}''$；

3. 对$f_2'$同理应用链式法则：$f_2'$ 也是 $u,v$ 的函数，因此：

   $\frac{\partial f_2'}{\partial y} = \frac{\partial f_2'}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f_2'}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{2}f_{21}'' - \frac{1}{2a}f_{22}''$（其中 $f_{21}''$ 是 $f$ 先对 $v$ 再对 $u$ 的混合偏导，$f_{22}''$ 是 $f$ 对 $v$ 的二阶偏导）；

4. 利用 “混合偏导相等” 化简：若函数 $z$ 有二阶连续偏导数（题目通常会给出此条件），则 $f_{12}''=f_{21}''$，代入后可消去含 $f_{12}''$ 和 $f_{21}''$ 的项，最终得到：

   $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{1}{4}f_{11}'' - \frac{1}{4a^2}f_{22}''$。

三、易错点提醒

1. 忘记 “一阶偏导的复合性”：容易误将 $f_1', f_2'$ 当成 “常数” 或 “仅依赖单一变量”，导致跳过对 $f_1', f_2'$ 应用链式法则的步骤（如直接认为 $\frac{\partial f_1'}{\partial y}=0$，这是最常见的错误）；

2. 混淆中间变量与最终自变量：需始终明确 “求导是对最终自变量（如 $x,y$）求导，而非中间变量（如 $u,v$）”，因此必须通过 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x}$ 等关联到最终自变量；

3. 忽略 “混合偏导相等” 的条件：只有当函数有 “二阶连续偏导数” 时，$f_{12}''=f_{21}''$ 才成立，若题目未给出此条件，不可随意消去相关项（但考研 / 高数课程中，题目通常默认满足该条件）。

四、通用解题框架（可直接套用）

针对 “$z=f(\text{中间变量}), \text{中间变量}=g(x,y)$” 型函数，求二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 的通用步骤：

1. 第一步：求$\frac{\partial z}{\partial x}$

• 设中间变量（如 $u=g_1(x,y), v=g_2(x,y)$）；

• 用一阶链式法则：$\frac{\partial z}{\partial x} = f_1' \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_2' \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$；

1. 第二步：对$\frac{\partial z}{\partial x}$求$\frac{\partial}{\partial y}$

• 对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 中的每一项（如 $f_1' \cdot \frac{\partial u}{\partial x}$）分别求导，用 “乘积法则 + 链式法则”：

  若项为 “$A \cdot f_k'$”（$A$ 是仅含 $x,y$ 的系数），则 $\frac{\partial}{\partial y}(A \cdot f_k') = \frac{\partial A}{\partial y} \cdot f_k' + A \cdot (f_{k1}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{k2}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial y})$；

1. 第三步：化简

• 代入所有偏导的具体表达式；

• 利用 $f_{12}''=f_{21}''$ 消去同类项，得到最终结果。

例 5：求复合函数的所有偏导数

设 $z = f(x, y, u)$，$y = y(x, t)$，$t = t(x, u)$，求 $z$ 对 $x$ 和 $u$ 的偏导数。

步骤 1：分析变量依赖关系（链式图）

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变量 $z$ 依赖于 $x, y, u$；$y$ 依赖于 $x, t$；$t$ 依赖于 $x, u$。因此，$z$ 最终与 $x, u$ 相关，需分别对 $x$ 和 $u$ 求偏导。

步骤 2：对 $x$ 求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$

根据链式法则，$z$ 对 $x$ 的偏导数需考虑所有从 $z$ 到 $x$ 的路径：

• 直接路径：$z \to x$，对应偏导数 $f_x'$（或 $\frac{\partial f}{\partial x}$）；

• 间接路径 1：$z \to y \to x$，对应偏导数 $f_y' \cdot y_x'$（或 $\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}$）；

• 间接路径 2：$z \to y \to t \to x$，对应偏导数 $f_y' \cdot y_t' \cdot t_x'$（或 $\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} \cdot \frac{\partial t}{\partial x}$）。

综上：

$\frac{\partial z}{\partial x} = f_x' + f_y' \cdot y_x' + f_y' \cdot y_t' \cdot t_x'$

步骤 3：对 $u$ 求偏导数 $\frac{\partial z}{\partial u}$

同理，$z$ 对 $u$ 的偏导数需考虑所有从 $z$ 到 $u$ 的路径：

• 直接路径：$z \to u$，对应偏导数 $f_u'$（或 $\frac{\partial f}{\partial u}$）；

• 间接路径：$z \to y \to t \to u$，对应偏导数 $f_y' \cdot y_t' \cdot t_u'$（或 $\frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial t} \cdot \frac{\partial t}{\partial u}$）。

综上：

$\frac{\partial z}{\partial u} = f_u' + f_y' \cdot y_t' \cdot t_u'$

说明：这里的 $f_x', f_y', f_u'$ 表示 $f$ 对第一个、第二个、第三个变量的偏导数（也可记为 $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial u}$）；$y_x', y_t'$ 表示 $y$ 对 $x, t$ 的偏导数；$t_x', t_u'$ 表示 $t$ 对 $x, u$ 的偏导数。

隐函数微分法

（1）由方程 $F(x,y) = 0$ 确定的隐函数 $y = y(x)$

一元隐函数存在定理（充分条件）：若函数 $F(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0) = 0$，$F_y'(x_0,y_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y) = 0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域可唯一确定一个有连续导数的函数 $y = f(x)$，并有$y' = -\frac{F_x'}{F_y'}$

（2）由方程 $F(x,y,z) = 0$ 确定的隐函数 $z = z(x,y)$

若函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0) = 0$，$F_z'(x_0,y_0,z_0) \neq 0$，则方程 $F(x,y,z) = 0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数 $z = f(x,y)$，并有

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x'}{F_z'}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y'}{F_z'}$

隐函数求导法

隐函数求导的核心是明确自变量与因变量的关系，通过不同方法（复合函数法、全微分法、公式法）求解导数或偏导数。

• ① 复合函数法

  先分清自变量和因变量，再用复合函数求导规则对各自变量求导（或偏导）。

  以方程 $F(x, y) = 0$ 为例（唯一确定 $y = y(x)$）：

  将 $y = y(x)$ 代入方程，得 $F(x, y(x)) = 0$（其中自变量为 $x$，因变量为 $y$）。

  对 $x$ 求导：

$F_x' + F_y' \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'}{F_y'}$

• ② 全微分法

  基于 “各变量关系对等” 的特点，对等式两端同时求全微分（利用一阶全微分形式不变性），再整理出 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$ 形式，从而得到偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。

• ③ 公式法

  先将等式右侧移项为 0，利用 “一元隐函数存在定理” 的公式求解。

  • 对于 $F(x, y) = 0$，导数公式为：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'}{F_y'}$

（记忆要点：负号 + 分子分母 “交叉” 对应偏导数）

• 对于 $F(x, y, z) = 0$，偏导数公式为：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x'}{F_z'}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y'}{F_z'}$

隐函数求偏导示例：设 $x + 2y + z = 2\sqrt{xyz}$，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$、$\frac{\partial z}{\partial y}$

方法一：复合函数求偏导（链式法则）

将方程视为 $z = z(x, y)$ 的复合形式，对等式两侧分别关于 $x$、$y$ 求偏导。

对 $x$ 求偏导

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}(x + 2y + z) &= \frac{\partial}{\partial x}\left(2\sqrt{xyz}\right) \\ 1 + \frac{\partial z}{\partial x} &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \cdot y\left(z + x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}\right) \\ 1 + \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{yz}{\sqrt{xyz}} + \frac{xy}{\sqrt{xyz}} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \\ \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{xy}{\sqrt{xyz}} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{yz}{\sqrt{xyz}} - 1 \\ \frac{\partial z}{\partial x} \left(1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}\right) &= \frac{yz - \sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz}} \\ \frac{\partial z}{\partial x} &= \frac{\sqrt{xyz} - yz}{\sqrt{xyz} - xy} \end{align*}$$

对 $y$ 求偏导

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y}(x + 2y + z) &= \frac{\partial}{\partial y}\left(2\sqrt{xyz}\right) \\ 2 + \frac{\partial z}{\partial y} &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \cdot x\left(z + y \cdot \frac{\partial z}{\partial y}\right) \\ 2 + \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{xz}{\sqrt{xyz}} + \frac{xy}{\sqrt{xyz}} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} \\ \frac{\partial z}{\partial y} - \frac{xy}{\sqrt{xyz}} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{xz}{\sqrt{xyz}} - 2 \\ \frac{\partial z}{\partial y} \left(1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}\right) &= \frac{xz - 2\sqrt{xyz}}{\sqrt{xyz}} \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= \frac{2\sqrt{xyz} - xz}{\sqrt{xyz} - xy} \end{align*}$$

方法二：全微分法

对原方程两端分别求全微分：

$$\begin{align*} d(x + 2y + z) &= d\left(2\sqrt{xyz}\right) \\ dx + 2dy + dz &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \left(yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz\right) \\ dx + 2dy + dz &= \frac{yz}{\sqrt{xyz}} dx + \frac{xz}{\sqrt{xyz}} dy + \frac{xy}{\sqrt{xyz}} dz \\ \left(1 - \frac{yz}{\sqrt{xyz}}\right)dx + \left(2 - \frac{xz}{\sqrt{xyz}}\right)dy + \left(1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}\right)dz &= 0 \end{align*}$$

整理得 $dz$ 关于 $dx$、$dy$ 的表达式：

$dz = -\frac{\sqrt{xyz} - yz}{\sqrt{xyz} - xy} dx - \frac{2\sqrt{xyz} - xz}{\sqrt{xyz} - xy} dy$

根据全微分的定义 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$，对比可得：

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{xyz} - yz}{\sqrt{xyz} - xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2\sqrt{xyz} - xz}{\sqrt{xyz} - xy}$

方法三：公式法（隐函数定理）

设 $F(x, y, z) = x + 2y + z - 2\sqrt{xyz} = 0$，分别求 $F$ 对 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：

• $F_x' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \cdot yz = 1 - \frac{yz}{\sqrt{xyz}}$

• $F_y' = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \cdot xz = 2 - \frac{xz}{\sqrt{xyz}}$

• $F_z' = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{xyz}} \cdot xy = 1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}$

根据隐函数求偏导公式 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x'}{F_z'}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y'}{F_z'}$，代入得：

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{1 - \frac{yz}{\sqrt{xyz}}}{1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}} = \frac{\sqrt{xyz} - yz}{\sqrt{xyz} - xy}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2 - \frac{xz}{\sqrt{xyz}}}{1 - \frac{xy}{\sqrt{xyz}}} = \frac{2\sqrt{xyz} - xz}{\sqrt{xyz} - xy}$

综上，三种方法均得到：

$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{xyz} - yz}{\sqrt{xyz} - xy}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2\sqrt{xyz} - xz}{\sqrt{xyz} - xy}}$

求由 $xy z + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2}$ 确定的 $z = z(x, y)$ 在 $(1, 0, -1)$ 处的全微分 $dz|_{(1,0,-1)}$

方法一：全微分法

对原方程两端求全微分，三个变量 $x, y, z$ 彼此独立：

$$\begin{align*} d(xy z + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) &= d(\sqrt{2}) \\ \left( yz \, dx + xz \, dy + xy \, dz \right) + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \left( 2x \, dx + 2y \, dy + 2z \, dz \right) &= 0 \\ \left( yz + \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) dx + \left( xz + \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) dy + \left( xy + \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \right) dz &= 0 \end{align*}$$

将 $x = 1$，$y = 0$，$z = -1$ 代入（此时 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$）：

$$\begin{align*} \left( 0 \cdot (-1) + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) dx + \left( 1 \cdot (-1) + \frac{0}{\sqrt{2}} \right) dy + \left( 1 \cdot 0 + \frac{-1}{\sqrt{2}} \right) dz &= 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} dx - dy - \frac{1}{\sqrt{2}} dz &= 0 \end{align*}$$

整理得全微分：

$dz|_{(1,0,-1)} = dx - \sqrt{2} dy$

方法二：复合函数求偏导法

将 $z$ 视为 $x, y$ 的函数 $z = z(x, y)$，分别对 $x, y$ 求偏导，再结合全微分公式 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$ 求解。

对 $x$ 求偏导

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial x}(xy z + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) &= \frac{\partial}{\partial x}(\sqrt{2}) \\ yz + xy \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \left( 2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} \right) &= 0 \end{align*}$$

代入 $x = 1$，$y = 0$，$z = -1$，$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2}$：

$$\begin{align*} 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \right) &= 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( 2 - 2 \frac{\partial z}{\partial x} \right) &= 0 \\ 2 - 2 \frac{\partial z}{\partial x} &= 0 \\ \frac{\partial z}{\partial x} &= 1 \end{align*}$$

对 $y$ 求偏导

$$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial y}(xy z + \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}) &= \frac{\partial}{\partial y}(\sqrt{2}) \\ xz + xy \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \left( 2y + 2z \frac{\partial z}{\partial y} \right) &= 0 \end{align*}$$

代入 $x = 1$，$y = 0$，$z = -1$，$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{2}$：

$$\begin{align*} 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( 2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} \right) &= 0 \\ -1 + \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( -2 \frac{\partial z}{\partial y} \right) &= 0 \\ -1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\partial z}{\partial y} &= 0 \\ \frac{\partial z}{\partial y} &= -\sqrt{2} \end{align*}$$

全微分结果

由 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$，得：

$dz|_{(1,0,-1)} = dx - \sqrt{2} dy$

综上，两种方法均得到：

$\boxed{dz|_{(1,0,-1)} = dx - \sqrt{2} dy}$

（3）由方程组 $\begin{cases} F_1(x,y,u,v) = 0 \\ F_2(x,y,u,v) = 0 \end{cases}$ 确定的隐函数 $u = u(x,y)$，$v = v(x,y)$（仅数一要求）

解法一：欲求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$，可以将每个方程分别对 $x$ 求偏导数，得出以 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$ 为变量的方程组，可解得 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}$。同样，可以将每个方程分别对 $y$ 求偏导数，得出以 $\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}$ 为变量的方程组，可解得 $\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}$。

解法二：雅可比行列式（简称 “雅可比式”）$J = \frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)} = \begin{vmatrix} F_u' & F_v' \\ G_u' & G_v' \end{vmatrix} = F_u'G_v' - F_v'G_u' \neq 0$。

通过隐函数求导法则，可推导出以下偏导数公式：

偏导数	公式
$\frac{\partial u}{\partial x}$	$-\frac{\begin{vmatrix} F_x' & F_v' \\ G_x' & G_v' \end{vmatrix}}{J}$
$\frac{\partial u}{\partial y}$	$-\frac{\begin{vmatrix} F_y' & F_v' \\ G_y' & G_v' \end{vmatrix}}{J}$
$\frac{\partial v}{\partial x}$	$-\frac{\begin{vmatrix} F_u' & F_x' \\ G_u' & G_x' \end{vmatrix}}{J}$
$\frac{\partial v}{\partial y}$	$-\frac{\begin{vmatrix} F_u' & F_y' \\ G_u' & G_y' \end{vmatrix}}{J}$

设 $\begin{cases} z = x^2 + y^2 \\ x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 20 \end{cases}$，求 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{dz}{dx}$

方法一：复合函数法

将 $y, z$ 视为 $x$ 的函数，对两个方程同时关于 $x$ 求导：

对第一个方程求导

\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} \tag{1}

对第二个方程求导

2x + 4y \cdot \frac{dy}{dx} + 6z \cdot \frac{dz}{dx} = 0 \tag{2}

将式 $(1)$ 代入式 $(2)$，整理求解：

$$\begin{align*} 2x + 4y \cdot \frac{dy}{dx} + 6z \left(2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx}\right) &= 0 \\ 2x + 4y \cdot \frac{dy}{dx} + 12xz + 12yz \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} (4y + 12yz) &= -2x - 12xz \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{6xz + x}{6yz + 2y} \end{align*}$$

再将 $\frac{dy}{dx}$ 代入式 $(1)$ 求 $\frac{dz}{dx}$：

$$\begin{align*} \frac{dz}{dx} &= 2x + 2y \cdot \left(-\frac{6xz + x}{6yz + 2y}\right) \\ &= \frac{2x(6yz + 2y) - 2y(6xz + x)}{6yz + 2y} \\ &= \frac{12xyz + 4xy - 12xyz - 2xy}{6yz + 2y} \\ &= \frac{2xy}{6yz + 2y} \\ &= \frac{x}{3z + 1} \end{align*}$$

方法二：全微分法

对两个方程分别求全微分：

第一个方程的全微分

dz = 2x \, dx + 2y \, dy \tag{3}

第二个方程的全微分

2x \, dx + 4y \, dy + 6z \, dz = 0 \tag{4}

将式 $(3)$ 代入式 $(4)$，消去 $dz$ 后求解 $\frac{dy}{dx}$（即 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}$，同除 $dx$）：

$$\begin{align*} 2x \, dx + 4y \, dy + 6z (2x \, dx + 2y \, dy) &= 0 \\ 2x + 4y \cdot \frac{dy}{dx} + 12xz + 12yz \cdot \frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{6xz + x}{6yz + 2y} \end{align*}$$

再将 $\frac{dy}{dx}$ 代入式 $(3)$ 求 $\frac{dz}{dx}$：

$$\begin{align*} \frac{dz}{dx} &= 2x + 2y \cdot \left(-\frac{6xz + x}{6yz + 2y}\right) \\ &= \frac{x}{3z + 1} \end{align*}$$

方法三：公式法（雅可比行列式）

设 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 - z = 0$，$G(x,y,z) = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 20 = 0$，计算雅可比行列式及偏导数：

• 雅可比行列式 $J = \frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)} = \begin{vmatrix} F_y' & F_z' \\ G_y' & G_z' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2y & -1 \\ 4y & 6z \end{vmatrix} = 12yz + 4y$

• $F_x' = 2x$，$G_x' = 2x$

• $F_y' = 2y$，$G_y' = 4y$

• $F_z' = -1$，$G_z' = 6z$

根据公式：

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\begin{vmatrix} F_x' & F_z' \\ G_x' & G_z' \end{vmatrix}}{J} = -\frac{\begin{vmatrix} 2x & -1 \\ 2x & 6z \end{vmatrix}}{12yz + 4y} = -\frac{12xz + 2x}{12yz + 4y} = -\frac{6xz + x}{6yz + 2y}$

$\frac{dz}{dx} = -\frac{\begin{vmatrix} F_y' & F_x' \\ G_y' & G_x' \end{vmatrix}}{J} = -\frac{\begin{vmatrix} 2y & 2x \\ 4y & 2x \end{vmatrix}}{12yz + 4y} = -\frac{4xy - 8xy}{12yz + 4y} = \frac{4xy}{12yz + 4y} = \frac{x}{3z + 1}$

综上，三种方法均得到：

$\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{6xz + x}{6yz + 2y}, \quad \frac{dz}{dx} = \frac{x}{3z + 1}}$

对 $F(x,y)=0$ 确=-怕。定隐函数 $y=y(x)$，推导 $\frac{d^2 y}{dx^2}$ 表达式

公式法

• $F(x,y)=0$，$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'}{F_y'}$ ✔️

  令 $G(x,y) = -\frac{F_x'}{F_y'} = 0$，$\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{G_x'}{G_y'}$ ❌

• $G_x' = -\frac{F_{xx}'' \cdot F_y' - F_x' \cdot F_{yx}''}{(F_y')^2}$，$G_y' = -\frac{F_{xy}'' \cdot F_y' - F_x' \cdot F_{yy}''}{(F_y')^2}$

【注】求的是 $\frac{dy}{dx}=0$ 确定的隐函数对应的一阶导，并非由 $F(x,y)=0$ 确定的 $y=y(x)$ 对应的二阶导，公式法只可求一阶导。

复合函数法：

$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d\left( \frac{dy}{dx} \right)}{dx} = \frac{d\left( -\frac{F_x'}{F_y'} \right)}{dx}$

$= -\frac{(F_{xx}'' + F_{xy}'' \cdot \frac{dy}{dx}) \cdot F_y' - F_x' (F_{yx}'' + F_{yy}'' \cdot \frac{dy}{dx})}{(F_y')^2}$

代入 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x'}{F_y'}$

$= -\frac{F_{xx}''(F_y')^2 - F_{xy}'' F_x' F_y' - F_{yx}'' F_x' F_y' + F_{yy}'' (F_x')^2}{(F_y')^3}$