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第五章-不定积分

reallylearning2025/8/10大约 11 分钟考研数学高数高等数学

不定积分

一、不定积分的性质

  1. (∫f(x)dx)′=f(x),(\int f(x)dx)' = f(x), d∫f(x)dx=f(x)dxd\int f(x)dx = f(x)dx

  2. ∫f′(x)dx=f(x)+C,\int f'(x)dx = f(x) + C, d∫f(x)=f(x)+Cd\int f(x) = f(x) + C

  3. ∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx

  4. ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx\int kf(x)dx = k\int f(x)dx（kk为常数 ）

二、不定积分基本公式

  1. ∫0dx=C\int 0dx = C
  2. ∫xαdx=1α+1xα+1+C\int x^{\alpha}dx = \frac{1}{\alpha + 1}x^{\alpha + 1} + C（α≠−1\alpha \neq -1）
  3. ∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C
  4. ∫axdx=axln⁡a+C\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C（a>0,a≠1a > 0, a \neq 1）
  5. ∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
  6. ∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C
  7. ∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C
  8. ∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C
  9. ∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x dx = -\cot x + C
  10. ∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\int \sec x \tan x dx = \sec x + C
  11. ∫csc⁡xcot⁡xdx=−csc⁡x+C\int \csc x \cot x dx = -\csc x + C
  12. ∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}dx = \arcsin x + C
  13. ∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1 + x^2}dx = \arctan x + C
  14. ∫dxa2−x2=arcsin⁡xa+C\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C（a>0a > 0）
  15. ∫dxa2+x2=1aarctan⁡xa+C\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C（a≠0a \neq 0）
  16. ∫dxx2−a2=12aln⁡∣x−ax+a∣+C\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C（a≠0a \neq 0）
  17. ∫dxa2−x2=12aln⁡∣a+xa−x∣+C\int \frac{dx}{a^2-x^2} = \frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C（a≠0a \neq 0）
  18. ∫dxx2+a2=ln⁡(x+x2+a2)+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C（a>0a > 0）
  19. ∫dxx2−a2=ln⁡∣x+x2−a2∣+C\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C（a>0a > 0）
  20. ∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
  21. ∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C
  22. (∫dt1−t2=12ln⁡∣1+t1−t∣+C)(\int \frac{dt}{1 - t^2} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1 + t}{1 - t}\right| + C)
  23. (∫dtt2−1=12ln⁡∣t−1t+1∣+C)(\int \frac{dt}{t^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{t - 1}{t + 1}\right| + C)

三、三种主要积分法(进行积分时要注意dxdx)

第一类换元法(凑微分法)

定理：设∫f(u)du=F(u)+C\int f(u)du = F(u) + C，u=φ(x)u = \varphi(x)存在连续导数，则

∫f[φ(x)]φ′(x)dx=∫f[φ(x)]dφ(x)=F[φ(x)]+C\int f[\varphi(x)]\varphi'(x)dx = \int f[\varphi(x)]d\varphi(x) = F[\varphi(x)] + C

第二类换元法（去根号）

定理：设 x=φ(t)x = \varphi(t) 是单调的、可导的函数，并且 φ′(t)≠0\varphi'(t) \neq 0。又

∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F(t) + C

则∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ′(t)dt=F(t)+C=F[φ−1(x)]+C\int f(x)dx=\int f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = F(t) + C = F[\varphi^{-1}(x)] + C

其中 φ−1(x)\varphi^{-1}(x) 是 x=φ(t)x = \varphi(t) 的反函数。

  • 当x是一次\sqrt{x是一次} ，则令...=t\sqrt{...}=t，解得x=x(t)x=x(t),则x=x′d(t)x=x'd(t)

    • 含（x,ax+bnx,\sqrt[n]{ax+b}），令t=ax+bnt = \sqrt[n]{ax+b}。
    • 含（ax+bm,ax+bn\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}），令t=ax+bkt=\sqrt[k]{ax+b}，kk为mm和nn的最小公倍数。

    例：∫1x2+x3 dx\int \frac{1}{\sqrt[2]{x} + \sqrt[3]{x}} \, dx

    解：令 x6=t\sqrt[6]{x} = t ，则：x=t6,dx=6t5 dtx = t^6, \quad dx = 6t^5 \, dt

    ​ 原式=∫1t3+t2⋅6t5 dt原式=\int \frac{1}{t^3 + t^2} \cdot 6t^5 \, dt

    ​ =∫6t3t+1dt=\int \frac{6t^3}{t + 1} dt

    ​ =6∫t2(t+1)−t(t+1)+(t+1)−1t+1dt=6 \int \frac{t^2(t+1) - t(t+1) + (t+1) - 1}{t + 1} dt

    ​ =6∫(t2−t+1−1t+1)dt= 6 \int \left( t^2 - t + 1 - \frac{1}{t + 1} \right) dt

    ​ =6(t33−t22+t−ln⁡∣t+1∣)+C=6 \left( \frac{t^3}{3} - \frac{t^2}{2} + t - \ln|t + 1| \right) + C

    ​ =2t3−3t2+6t−6ln⁡∣t+1∣+C=2t^3 - 3t^2 + 6t - 6\ln|t + 1| + C

    ​ =2x−3x3+6x6−6ln⁡∣x6+1∣+C=2\sqrt{x} - 3\sqrt[3]{x} + 6\sqrt[6]{x} - 6\ln|\sqrt[6]{x} + 1| +C

    • 含（ax+bcx+dn,ad−bc≠0\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}, ad-bc\neq0），令t=ax+bcx+dnt=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}。
    • 含 ex±a{\sqrt{e^x \pm a}} 的积分，令 ex±a=t{\sqrt{e^x \pm a} = t} ，则推导得：ex±a=t2  ⟹  ex=t2∓ae^x \pm a = t^2 \implies e^x = t^2 \mp a ，取对数得 x=ln⁡(t2∓a){x = \ln(t^2 \mp a)} ，微分得 dx=2tt2∓adt{dx = \frac{2t}{t^2 \mp a} dt}
    • 分母最高次幂远大于分子最高次幂的积分，令分子为uu，例如∫1x(xn+… )dx{\int \frac{1}{x(x^n + \dots)} dx}

    例：∫1x(x7+2)dx{\int \frac{1}{x(x^7 + 2)} dx}

    解：令x=1tx = \frac{1}{t} ，则 dx=−1t2dtdx = -\frac{1}{t^2} dt

    ​ =∫11t((1t)7+2)⋅(−1t2)dt=\int \frac{1}{\frac{1}{t} \left( \left( \frac{1}{t} \right)^7 + 2 \right)} \cdot \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt

    ​ =∫t1+2t7t7⋅(−1t2)dt=\int \frac{t}{ \frac{1 + 2t^7}{t^7} } \cdot \left( -\frac{1}{t^2} \right) dt

    ​ =−∫t81+2t7⋅1t2dt=-\int \frac{t^8}{1 + 2t^7} \cdot \frac{1}{t^2} dt

    ​ =−∫t62t7+1dt=-\int \frac{t^6}{2t^7 + 1} dt

    令 u=2t7+1u = 2t^7 + 1 ，则 du=14t6dt  ⟹  114du=t6dtdu = 14t^6 dt \implies \frac{1}{14} du = t^6 dt ，积分变为：−114∫1udu=−114ln⁡∣u∣+C=−114ln⁡∣2t7+1∣+C-\frac{1}{14} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{14} \ln|u| + C = -\frac{1}{14} \ln|2t^7 + 1| + C ，−114ln⁡∣2⋅1x7+1∣+C=−114ln⁡∣1+2x7∣+C-\frac{1}{14} \ln\left| 2 \cdot \frac{1}{x^7} + 1 \right| + C = -\frac{1}{14} \ln\left| 1 + \frac{2}{x^7} \right| + C。

  • 当x是二次\sqrt{x是二次} 时，则使用三角换元，使用辅助三角形得到最后的结果。

    • 被积函数含有 a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}，令 x=asin⁡tx = a\sin t（或 acos⁡ta\cos t）。
    • 被积函数含有 a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}，令 x=atan⁡tx = a\tan t（或 acot⁡ta\cot{t}）。tan⁡2t+1=sec⁡2t\tan^2 {t}+1=\sec^2 {t}
    • 被积函数含有 x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}，令 x=asec⁡tx = a\sec t（或 acsc⁡ta\csc t）。cot⁡2t+1=csc⁡2t\cot^2 {t} + 1 = \csc^2{t}

  • 不带有...\sqrt{...}，并且含有复杂部分，令复杂部分为t

    • 例：∫x+1x(1+xex)dx\int \frac{x + 1}{x(1 + x e^x)}dx，这里xexxe^x就是复杂部分，令xex=txe^x=t，则dt=ex(1+x)dt=e^x(1+x)，

      ​ 原式=∫(x+1)exxex(1+xex)dx=\int\frac{(x+1)e^x}{xe^x(1+xe^x)}dx

      ​ =∫dtt(1+t)=\int\frac{dt}{t(1+t)}

      ​ =∫(1t−11+t)dt=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{1+t})dt

      ​ =ln∣t1+t∣+C=ln\lvert \frac{t}{1+t}\rvert +C

      ​ =ln∣xex1+xex∣+C=ln\lvert\frac{x e^x}{1+x e^x}\rvert+C

分部积分法

  • 分部积分公式：∫udv=uv−∫vdu\int u\mathrm{d}v = uv - \int v\mathrm{d}u

  • 分部积分法所适用的函数类

    分部积分法比较适用于两类不同函数相乘的积分，以下 pn(x)p_n(x) 为 xx 的 nn 次多项式 ：

    1. ∫pn(x)eαxdx\int p_n(x)e^{\alpha x}\mathrm{d}x

    2. ∫pn(x)sin⁡αxdx\int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x

    3. ∫pn(x)cos⁡αxdx\int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x

    4. ∫eαxsin⁡βxdx\int e^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x

    5. ∫eαxcos⁡βxdx\int e^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x

    6. ∫pn(x)ln⁡xdx\int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x

    7. ∫pn(x)arctan⁡xdx\int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x

    8. ∫pn(x)arcsin⁡xdx\int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x

  • 分部积分法中 u,vu,v 的选取（选u的顺序：反对幂三指,越靠后越往dxdx里凑,选择一种之后要继续选择同类型的凑dxdx）

    分部积分法使用关键在于 u,vu, v 选取，即确定把哪个函数凑到微分号里，分以下情况：

    1. 对于 ∫pn(x)eαxdx\int p_n(x)e^{\alpha x}\mathrm{d}x、∫pn(x)sin⁡αxdx\int p_n(x)\sin\alpha x\mathrm{d}x、∫pn(x)cos⁡αxdx\int p_n(x)\cos\alpha x\mathrm{d}x ，应把多项式以外的函数（eαxe^{\alpha x}、sin⁡αx\sin\alpha x、cos⁡αx\cos\alpha x ）凑进微分号。

    2. 对于 ∫eαxsin⁡βxdx\int e^{\alpha x}\sin\beta x\mathrm{d}x、∫eαxcos⁡βxdx\int e^{\alpha x}\cos\beta x\mathrm{d}x ，把指数函数或三角函数凑进微分号均可，通常把指数函数凑进去更简单，连续两次将指数函数凑进去分部积分还原可求解。

    3. 对于 ∫pn(x)ln⁡xdx\int p_n(x)\ln x\mathrm{d}x、∫pn(x)arctan⁡xdx\int p_n(x)\arctan x\mathrm{d}x、∫pn(x)arcsin⁡xdx\int p_n(x)\arcsin x\mathrm{d}x ，应把多项式函数（pn(x)p_n(x) ）凑进微分号。

四、三类常见可积函数积分

有理函数积分 ∫R(x)dx\int R(x)dx

有理函数积分是微积分中不定积分的重要类型，其核心思路是通过代数变形将复杂有理式拆解为简单可积形式，常用方法如下：

有理函数形如 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}（P(x),Q(x)P(x),Q(x) 为多项式，Q(x)≠0Q(x)\neq0 ），核心是用部分分式分解，将其拆为：

P(x)Q(x)=多项式+∑Ai(x−ai)ki+∑Bjx+Cj(x2+pjx+qj)mj\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{多项式} + \sum \frac{A_i}{(x - a_i)^{k_i}} + \sum \frac{B_jx + C_j}{(x^2 + p_jx + q_j)^{m_j}}

（其中 x2+pjx+qjx^2 + p_jx + q_j 是不可约二次式，pj2−4qj<0p_j^2 - 4q_j < 0 ）

具体方法与步骤

  1. 多项式除法（假分式→多项式 + 真分式）

若 deg⁡P(x)≥deg⁡Q(x)\deg P(x) \geq \deg Q(x)（分子次数**≥分母次数），先用多项式长除法**，将假分式拆为 “多项式 + 真分式”（真分式：分子次数 < 分母次数）。

例：∫x3+1x+1dx\int \frac{x^3 + 1}{x + 1}dx，先分解 x3+1x+1=x2−x+1\frac{x^3 + 1}{x + 1}=x^2 - x + 1（多项式除法），再积分 ∫(x2−x+1)dx\int (x^2 - x + 1)dx。

  1. 部分分式分解（真分式→简单分式和）

对真分式 P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)}，按分母 Q(x)Q(x) 的因式分解形式分解：

  • **情况 1：分母含单一次因式 ** (x−a)(x-a)

    对应部分分式：Ax−a\frac{A}{x - a}（AA 为待定系数）。

  • **情况 2：分母含重一次因式 ** (x−a)k(x-a)^k

    对应部分分式：A1x−a+A2(x−a)2+⋯+Ak(x−a)k\frac{A_1}{x - a} + \frac{A_2}{(x - a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x - a)^k}。

  • **情况 3：分母含不可约二次因式 ** x2+px+q,(p2−4q<0)x^2+px+q,(p^2-4q<0)

    对应部分分式：Bx+Cx2+px+q\frac{Bx + C}{x^2 + px + q}（B,CB,C 为待定系数）。

  • **情况 4：分母含重不可约二次因式 ** (x2+px+q)m,(m≥2)(x^2+px+q)^m,(m\ge2)

    对应部分分式：B1x+C1x2+px+q+B2x+C2(x2+px+q)2+⋯+Bmx+Cm(x2+px+q)m\frac{B_1x + C_1}{x^2 + px + q} + \frac{B_2x + C_2}{(x^2 + px + q)^2} + \dots + \frac{B_mx + C_m}{(x^2 + px + q)^m}。

    1. 待定系数法求分解系数

通过通分、比较分子系数确定待定系数 A,B,C,…A,B,C,\dots。

例：分解 2x+3(x−1)(x2+x+1)\frac{2x + 3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}，设：

2x+3(x−1)(x2+x+1)=Ax−1+Bx+Cx2+x+1\frac{2x + 3}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + x + 1}

通分后比较分子 2x+3=A(x2+x+1)+(Bx+C)(x−1)2x + 3 = A(x^2 + x + 1) + (Bx + C)(x - 1)，代入特殊值（如 x=1x = 1 ）或展开比较系数，解出 A,B,CA,B,C。

  1. 积分简单分式（基本积分公式 + 技巧）

分解后，对简单分式用基本积分公式或技巧（如换元法）积分：

  • 对 Ax−a\frac{A}{x - a}：∫Ax−adx=Aln⁡∣x−a∣+C\int \frac{A}{x - a}dx = A\ln|x - a| + C。

  • 对 A(x−a)k\frac{A}{(x - a)^k}（k≥2k\geq2）：∫A(x−a)kdx=A(1−k)(x−a)k−1+C\int \frac{A}{(x - a)^k}dx = \frac{A}{(1 - k)(x - a)^{k - 1}} + C。

  • 对 Bx+Cx2+px+q\frac{Bx + C}{x^2 + px + q}：

    先配方 x2+px+q=(x+p2)2+(q−p24)x^2 + px + q = (x + \frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})，再拆分为 B(x+p2)+(C−Bp2)(x+p2)2+(q−p24)\frac{B(x + \frac{p}{2}) + (C - \frac{Bp}{2})}{(x + \frac{p}{2})^2 + (q - \frac{p^2}{4})}，分别用 ∫f′(x)f(x)dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln|f(x)| + C 和 ∫1u2+a2du=1aarctan⁡ua+C\int \frac{1}{u^2 + a^2}du = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C 积分。

例：以 ∫x+1x2−5x+6dx\int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}dx 为例：

  1. 因式分解分母：x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。

  2. 部分分式分解：设 x+1(x−2)(x−3)=Ax−2+Bx−3\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 3}，通分后比较分子得 A=−3,B=4A = -3, B = 4，即 x+1(x−2)(x−3)=−3x−2+4x−3\frac{x + 1}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{-3}{x - 2} + \frac{4}{x - 3}。

  3. 分别积分：

∫x+1x2−5x+6dx=−3ln⁡∣x−2∣+4ln⁡∣x−3∣+C\int \frac{x + 1}{x^2 - 5x + 6}dx = -3\ln|x - 2| + 4\ln|x - 3| + C

补充技巧

  • 换元简化：遇复杂分母，优先换元（如 t=x2t = x^2、t=xt = \sqrt{x} 等）降低次数。

  • 观察凑微分：对分子含分母导数的情况，直接凑微分（如 ∫2xx2+1dx=ln⁡(x2+1)+C\int \frac{2x}{x^2 + 1}dx = \ln(x^2 + 1) + C ）。

有理函数积分的关键是 分解复杂→积分简单，通过多项式除法、部分分式分解，将难题拆解为基本积分公式可解决的形式，多练习分解技巧（待定系数法）和积分化简即可熟练掌握

三角有理式积分 ∫R(sin⁡x,cos⁡x)dx\int R(\sin{x},\cos{x})dx

基于对称性的变换（首选）

  1. R(sin⁡x,−cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)  ⟹  R(\sin x, -\cos x) = -R(\sin x, \cos x) \implies 令 t=sin⁡xt = \sin x
  2. R(−sin⁡x,cos⁡x)=−R(sin⁡x,cos⁡x)  ⟹  R(-\sin x, \cos x) = -R(\sin x, \cos x) \implies 令 t=cos⁡xt = \cos x
  3. R(−sin⁡x,−cos⁡x)=R(sin⁡x,cos⁡x)  ⟹  R(-\sin x, -\cos x) = R(\sin x, \cos x) \implies 令 t=tan⁡xt = \tan x

万能公式(∫dxa+bcos⁡x,∫dxa+bsin⁡x一次适合万能代换\int\frac{dx}{a+b\cos{x}},\int\frac{dx}{a+b\sin{x}}一次适合万能代换)

令 t=tan⁡x2t = \tan \frac{x}{2} ，则有：

  • 正弦函数：sin⁡x=2t1+t2\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}

  • 余弦函数：cos⁡x=1−t21+t2\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}

  • 微分关系：dx=21+t2dtdx = \frac{2}{1 + t^2} dt

  • 正切函数：tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=2t1+t21−t21+t2=2t1−t2\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}} = \frac{2t}{1 - t^2}

“1” 的用处

利用三角恒等式中 “1” 的变形，构造齐次式或简化表达式：

  1. 核心恒等式：(sin⁡2x+cos⁡2x)a=1（构造齐次式常用，a为指数)(\sin^2 x + \cos^2 x)^a = 1 \quad \text{（构造齐次式常用，a为指数)}

  2. 正割 / 余割恒等式：sec⁡2x=tan⁡2x+1,csc⁡2x=cot⁡2x+1\sec^2 x = \tan^2 x + 1, \quad \csc^2 x = \cot^2 x + 1

倍半角公式

倍角公式将高次角转化为低次角，是降次、化简的基础：

  • 正弦倍角：sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x \cos x

  • 余弦倍角（三种形式）：cos⁡2x=2cos⁡2x−1=1−2sin⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x = \cos^2 x - \sin^2 x

积化和差公式（两类一次幂三角函数相乘）

将 sin⁡αxsin⁡βx\sin \alpha x \sin \beta x、sin⁡αxcos⁡βx\sin \alpha x \cos \beta x、cos⁡αxcos⁡βx\cos \alpha x \cos \beta x 转化为和差形式，简化积分：

  • sin⁡αxsin⁡βx=−12[cos⁡(α+β)x−cos⁡(α−β)x]\sin \alpha x \sin \beta x = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)x - \cos(\alpha-\beta)x]
  • sin⁡αxcos⁡βx=12[sin⁡(α+β)x+sin⁡(α−β)x]\sin \alpha x \cos \beta x = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)x + \sin(\alpha-\beta)x]
  • cos⁡αxcos⁡βx=12[cos⁡(α+β)x+cos⁡(α−β)x]\cos \alpha x \cos \beta x = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)x + \cos(\alpha-\beta)x]

高次幂三角函数积分（∫sin⁡αxcos⁡βx dx\int \sin^\alpha x \cos^\beta x \, dx）

分两种情况处理，核心思路是降次或凑微分：

α\alpha 或 β\beta 至少一个为奇数

将奇数幂拆出一次项，凑微分简化：

示例：计算 ∫sin⁡3xcos⁡2x dx\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx

  • 拆出 sin⁡x\sin x 凑微分：

∫sin⁡3xcos⁡2x dx=∫sin⁡2xcos⁡2x⋅sin⁡x dx\int \sin^3 x \cos^2 x \, dx = \int \sin^2 x \cos^2 x \cdot \sin x \, dx

=−∫(1−cos⁡2x)cos⁡2xd(cos⁡x)利用sin⁡2x=1−cos⁡2x，且d(cos⁡x)=−sin⁡xdx= -\int (1 - \cos^2 {x}) \cos^2 {x}d(\cos {x}) \quad \text{利用}\sin^2 x = 1 - \cos^2 x，且d(\cos x) = -\sin x dx

=−∫(cos⁡2x−cos⁡4x) d(cos⁡x)= -\int (\cos^2 x - \cos^4 x) \, d(\cos x)

=−13cos⁡3x+15cos⁡5x+C= -\frac{1}{3}\cos^3 x + \frac{1}{5}\cos^5 x + C

α\alpha 和 β\beta 均为偶数（降次）

用倍角公式降次到一次幂，逐步化简：

  • 正弦降次：sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

  • 余弦降次：cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

示例：计算 ∫sin⁡2xcos⁡2x dx\int \sin^2 x \cos^2 x \, dx

  • 降次化简：

∫sin⁡2xcos⁡2x dx=∫(1−cos⁡2x2)(1+cos⁡2x2)dx=14∫(1−cos⁡22x)dx=14∫(1−1+cos⁡4x2)dx=18∫(1−cos⁡4x)dx=18x−132sin⁡4x+C\begin{align*} \int \sin^2 x \cos^2 x \, dx &= \int \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{4} \int (1 - \cos^2 2x) dx \\ &= \frac{1}{4} \int \left( 1 - \frac{1 + \cos 4x}{2} \right) dx \\ &= \frac{1}{8} \int (1 - \cos 4x) dx \\ &= \frac{1}{8}x - \frac{1}{32}\sin 4x + C \end{align*}

简单无理函数积分

三角换元（根号下出现平方）

  • 被积函数含有 a2−x2\sqrt{a^2 - x^2}，令 x=asin⁡tx = a\sin t（或 acos⁡ta\cos t）。
  • 被积函数含有 a2+x2\sqrt{a^2 + x^2}，令 x=atan⁡tx = a\tan t（或 acot⁡ta\cot{t}）。tan⁡2t+1=sec⁡2t\tan^2 {t}+1=\sec^2 {t}
  • 被积函数含有 x2−a2\sqrt{x^2 - a^2}，令 x=asec⁡tx = a\sec t（或 acsc⁡ta\csc t）。cot⁡2t+1=csc⁡2t\cot^2 {t} + 1 = \csc^2{t}

根式换元

  • 含（x,ax+bnx,\sqrt[n]{ax+b}），令t=ax+bnt = \sqrt[n]{ax+b}。

  • 含（ax+bm,ax+bn\sqrt[m]{ax+b},\sqrt[n]{ax+b}），令t=ax+bkt=\sqrt[k]{ax+b}，kk为mm和nn的最小公倍数。

  • 含（ax+bcx+dn，ad−bc≠0\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}，ad-bc\neq0），令t=ax+bcx+dnt=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}。